Séquence 02 : Les racines carrées - première partie

I Définition
II Propriétés

I Définition

I Définition
II Propriétés

Définition : [Racine carrée]

Soit

a

un nombre positif, la racine carrée de

a

est le nombre positif qui élevé au carré donne

a

. On le note

\sqrt{a}

et on a :

(\sqrt{a})^{2} = a

Soit

a

un nombre. Que vaut

\sqrt{a^{2}}

$\sqrt{a^{2}} = a$ , si $a$ est positif ;
$\sqrt{a^{2}} = - a$ , si $a$ est négatif.

Exemple :

On cherche à calculer

A = \sqrt{(17)^{2}}

.
On remarque que

17

est positif, donc on a

A =

17.

Remarque :

On remarque que grace au carré, on prend toujours la racine carrée d'un nombre positif, et que le résultat final est également un nombre positif, comme cela était dit dans la définition.

Remarque :

Ne pas confondre avec

(\sqrt{a})^{2}

, qui n'existe que si

a

est positif et alors on a :

(\sqrt{a})^{2} = a

Exemple : [ ]

On a bien

{\sqrt{13}}^{2} = 13

{\sqrt{- 5}}^{2}

qui n'a pas de sens.

Dans l'expression $\sqrt{a}$ , $a$ est le radicande ;
On a toujours $\sqrt{a} \geq 0$ , voir la définition ;
Les nombres dont la racine carré est un entier sont appelés carrés parfaits .

Exemple : [Calculons l'expression $A$ ]

\begin{aligned} A & = \sqrt{196} \\ A & = 14 \end{aligned}

On dit que

196

est un carré parfait, car sa racine carrée est un entier.

Séquence 02 : Les racines carrées - première partie → I Définition

Proposition :

Soit

a

b

deux nombres positifs, on a :

$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

De plus, si

b \neq 0

, on a aussi :

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Exemple : [ ]

\begin{matrix} A & = & \sqrt{2} \times \sqrt{32} \\ A & = & \sqrt{64} \\ A & = & 8 \end{matrix}

\begin{matrix} B & = & \sqrt{\frac{64}{49}} \\ B & = & \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{49}} \\ B & = & \frac{8}{7} \\ B & = \end{matrix}

Attention

\begin{matrix} A & = & \sqrt{49} + \sqrt{576} \\ A & = & 7 + 24 \\ A & = & 31 \end{matrix}

\begin{matrix} B & = & \sqrt{49 + 576} \\ B & = & \sqrt{625} \\ B & = & 25 \end{matrix}

Remarque :

Soit

a

b

des nombres strictement positifs, on a toujours :

$\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a + b}$

On écrira toujours une racine carrée sous sa forme la plus simple possible.

Exemple : [ ]

Écrire le nombre donné sous la forme la plus simple :

A = \sqrt{567}

On a :

\begin{matrix} A & = & \sqrt{567} \\ A & = & \sqrt{7 \times 81} \\ A & = & \sqrt{7 \times 9^{2}} \\ A & = & \sqrt{9^{2}} \times \sqrt{7} \\ A & = & 9 \sqrt{7} \end{matrix}

Exercice :

Calculer une racine carrée (utilisation de la calculatrice)
Simplifier des racines carrées - Correspondance
Écriture réduite
Calcul d'expression
Racines et nombres - Correspondance

Séquence 02 : Les racines carrées - première partie → II Propriétés

document sur les premières utilisations des racines carrées.
: racines carrées, elementary_algebra, roots, euler, wims, eulerwims, versailles, mathématiques, mathematics, math, maths, physique, sciences, exercices, exercices à données aléatoires avec correction automatique, exercise, interactif, interactive mathematics, interactive math, interactive maths, en ligne, online, calcul, calculus, géométrie, geometry, courbes, curve, graphing, statistiques, statistics, probabilités, probability, algorithmes, algèbre, analyse, arithmétique, fonctions, qcm, quiz, cours, devoirs, éducation, enseignement, teaching, gratuit, free, open source, communs numériques, plateforme, classe virtuelle, virtual class, virtual classes, virtual classroom, virtual classrooms, interactive documents, interactive document, exercices interactifs, correction, feedback, lexique, glossaire, examen, feuilles d'exercices, ressources, outils, création d'exercices, codage, activités, parcours d'apprentissage

Veuillez noter que les pages WIMS sont générées interactivement; elles ne sont pas des fichiers HTML ordinaires. Elles doivent être utilisées interactivement EN LIGNE. Il est inutile pour vous de les ramasser par un programme robot.

Séquence 02 : Les racines carrées - première partie