OEF Intégration numérique --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 15 exercices sur l'intégration numérique des fonctions.

Intégrale numérique (Riemann)

Soit une fonction continue et sur l'intervalle [,]. On se donne les valeurs suivantes de Donner le meilleur encadrement de possible à partir de ces valeurs en utilisant la méthode des rectangles :
Pour information :
xrange , yrange , parallel 0,,0,,1,0,40, grey parallel 0,,0,,-1,0,40, grey parallel ,0,,0,0,1,40, grey parallel ,0,,0,0,-1,40, grey vline 0,0, black hline 0,0, black arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black linewidth 2

Intégrale numérique (rectangles)

Soit une fonction continue et sur l'intervalle [,]. On se donne les valeurs suivantes de Donner le meilleur encadrement de possible à partir de ces valeurs en utilisant la méthode des rectangles :
.
Pour information :
xrange , yrange , parallel 0,,0,,1,0,40, grey parallel 0,,0,,-1,0,40, grey parallel ,0,,0,0,1,40, grey parallel ,0,,0,0,-1,40, grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black linewidth 2

Intégrale numérique (rectangles) 2

Soit une fonction continue sur l'intervalle [,], sur l'intervalle [,] et sur l'intervalle [,]. On se donne les valeurs suivantes de Donner le meilleur encadrement de possible à partir de ces valeurs en utilisant la méthode du rectangle :
Pour information :
xrange , yrange , parallel 0,,0,,1,0,40, grey parallel 0,,0,,-1,0,40, grey parallel ,0,,0,0,1,40, grey parallel ,0,,0,0,-1,40, grey vline 0,0, black hline 0,0, black arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black linewidth 2

Erreur bornée trapèze I

Soit une fonction infiniment dérivable. Nous voulons calculer approximativement l'intégrale définie par la méthode des trapèzes à intervalles réguliers. Sachant que
pour , pour ,
calculer le nombre minimal de coupes de l'intervalle [,] qui est nécessaire pour que l'erreur de l'approximation ne dépasse pas .

Erreur bornée trapèze II

Soit une fonction infiniment dérivable. Nous voulons calculer approximativement l'intégrale définie par la méthode des trapèzes à intervalles réguliers. Sachant que
pour , pour ,
calculer le nombre minimal de coupes de l'intervalle [,] qui est nécessaire pour que l'erreur de l'approximation ne dépasse pas .

Intégration numérique adaptée

Soit une fonction continue sur l'intervalle [,]. On désire trouver un encadrement de . Pour cela, on subdivise l'intervalle [,] comme indiqué et on utilise la méthode des rectangles. Quelle subdivision parmi celles proposées donnera le meilleur encadrement ?
xrange -0.5, yrange , linewidth 3 plot green ,, plot green ,, linewidth 1 arrow ,, ,+1,10,black arrow ,, +1, ,10,black vline ,,black hline ,, black xrange -0.5, yrange , linewidth 3 plot green ,, plot green ,, linewidth 1 arrow ,, ,+1,10,black arrow ,, +1, ,10,black vline ,,black hline ,, black xrange -0.5, yrange , linewidth 3 plot green ,, plot green ,, linewidth 1 arrow ,, ,+1,10,black arrow ,, +1, ,10,black vline ,,black hline ,, black

Intégrale numérique (point médian)

Soit une fonction continue et convexe sur l'intervalle [,]. On se donne les valeurs suivantes de aux points pour allant de 0 à .
Valeurs de
Donner le minorant à de obtenu à partir de ces valeurs en utilisant la méthode des points médians :
Pour information :
xrange , yrange , parallel 0,,0,,1,0,20, grey parallel 0,,0,,-1,0,20, grey parallel ,0,,0,0,1,20, grey parallel ,0,,0,0,-1,20, grey vline 0,0, black hline 0,0, black arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black linewidth 2 plot green,

Intégration numérique, erreur

Soit une fonction continue et convexe sur l'intervalle [,]. On se donne les valeurs suivantes de pour les valeurs : de pour allant de 0 à .
Valeurs de
Donner la meilleure majoration de possible à partir de ces valeurs en utilisant la méthode des trapèzes :
En effet, la méthode des trapèzes permet d'approcher l'intégrale de la fonction par . La fonction est définie par .

Calculer l'erreur relative (avec deux chiffres significatifs) commise en approchant l'intégrale par la méthode des trapèzes.

.

Pour information :

xrange , yrange , parallel 0,,0,,1,0,20, grey parallel 0,,0,,-1,0,20, grey parallel ,0,,0,0,1,20, grey parallel ,0,,0,0,-1,20, grey vline 0,0, black hline 0,0, black arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black linewidth 2 plot green,

Intégration numérique (trapèze)

Soit une fonction continue et convexe sur l'intervalle [,]. On se donne les valeurs suivantes de pour les valeurs de égales à , pour allant de 0 à .
Donner le meilleur majorant possible de que l'on peut obtenir à partir de ces valeurs en utilisant la méthode des trapèzes :
Pour information :
xrange , yrange , parallel 0,,0,,1,0,20, grey parallel 0,,0,,-1,0,20, grey parallel ,0,,0,0,1,20, grey parallel ,0,,0,0,-1,20, grey vline 0,0, black hline 0,0, black arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black linewidth 2 plot green,

Trapèze basique

Voici quelques valeurs d'une fonction infiniment dérivable.
Valeurs de
Utiliser ces valeurs pour calculer l'intégrale définie par la méthode des trapèzes à intervalles réguliers. (Attention aux valeurs intrues éventuelles !) La méthode des trapèzes donne une intégration approximative
.
Sachant que pour , Sachant que pour , donner une borne d'erreur de cette approximation.
<

Trapèze et erreur I

Voici quelques valeurs d'une fonction infiniment dérivable.
Valeurs de
Utiliser ces valeurs pour calculer l'intégrale définie par la méthode des trapèzes à intervalles réguliers. (Attention aux valeurs intrues éventuelles !) La méthode des trapèzes donne une intégration approximative
.
Sachant que pour , Sachant que pour , donner une borne d'erreur de cette approximation.
<

Trapèze et erreur II

Voici quelques valeurs d'une fonction infiniment dérivable.
Valeurs de
Utiliser ces valeurs pour calculer l'intégrale définie par la méthode des trapèzes à intervalles réguliers. (Attention aux valeurs intrues éventuelles !) La méthode des trapèzes donne une intégration approximative
.
Sachant que pour , Sachant que pour , donner une borne d'erreur de cette approximation.
<

Trapèze encadré

Voici quelques valeurs d'une fonction infiniment dérivable.
Valeurs de
Etant donné l'estimation pour , donner un encadrement de l'intégrale définie par la méthode des trapèzes à intervalles réguliers :
< <

Trapèze avec intrus

Voici quelques valeurs d'une fonction infiniment dérivable.
Valeurs de
Utiliser ces valeurs pour calculer l'intégrale définie par la méthode des trapèzes à intervalles réguliers. (Attention aux valeurs intrues éventuelles !) La méthode des trapèzes donne une intégration approximative
.
Sachant que pour , Sachant que pour , donner une borne d'erreur de cette approximation.
<

Intégration numérique, erreur II

Soit une fonction continue et convexe sur l'intervalle [,]. On se donne les valeurs suivantes de pour les valeurs : de pour allant de 0 à .
Valeurs de
Donner la meilleure majoration de possible à partir de ces valeurs en utilisant la méthode des trapèzes :
Pour information :
On donnera le résultat avec 3 décimales.

En effet, la méthode des trapèzes permet d'approcher l'intégrale de la fonction par .

On se donne maintenant les valeurs suivantes de aux points pour allant de 0 à .

Donner le minorant de obtenu à partir de ces valeurs en utilisant la méthode des points médians (on donnera le résultat avec 3 décimales):
Pour information :

Ainsi, la méthode des trapèzes permet d'approcher l'intégrale de la fonction par , la méthode des points médians par .

La fonction est définie par .

Calculer, pour chacune des deux méthodes, l'erreur (par excès) commise en approchant l'intégrale par (trapèzes) ou (points médians).
On donnera le résultat avec un chiffre significatif par exemple 0.005.
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