Calcul numérique des zéros d'une fonction
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 6 exercices
sur les différentes méthodes de calcul numérique des zéros
ou des points fixes d'une fonction.
Méthode de la bissection
Peut-on appliquer la méthode de la bissection pour le calcul numérique des zéros de la fonction
définie par
dans l'intervalle
et dont le graphe est le suivant:
xrange -1, +1 yrange -3, +3 vline 0,0,black hline 0,0,black vline pi,0,red vline -pi/2,0,red parallel -0.1,0,0.1,0,0,1,20,black parallel -0.1,0,0.1,0,0,-1,20,black parallel 0,-0.1,0,0.1,1,0,20,black parallel 0,-0.1,0,0.1,-1,0,20,black text black,-1.75,-0.1,small,- copy -pi/2,-0.1,-1,-1,-1,-1,mathfonts/109/pi.gif text black,-1.3,-0.1,small,/2 copy pi,-0.1,-1,-1,-1,-1,mathfonts/109/pi.gif plot blue,
Méthode de Lagrange
On considère la fonction
définie par
. On veut approcher la racine positive de
par la méthode de Lagrange. On note
la suite itérée correspondante ayant comme premiers termes
et
.
![]()
- Donner la relation de récurrence en exprimant
en fonction de
et
où
,
et
.
- Calculer
=
et
=
.
- Donner l'indice
=
du terme de la suite
qui approche
à
près.
- Donner une approximation de la racine
de
à
près :
.
Méthode de Newton
Pour calculer la solution de
dans [0, 10] par la méthode de Newton, on définit une suite
. Donner l'expression de
que l'on utilise :
Point fixe douteux
On considère la fonction
définie par
dont le graphe est:
![]()
Le point fixe O de
est
.
Méthode de point fixe
- Cochez les fonctions qui admettent un point fixe :
- La fonction
définie par
admet
zéro(s) dans [0,1].
- Cochez la fonction qu'on peut utiliser pour calculer par la méthode du point fixe le(s) zéro(s) de
-
-
- On utilise la méthode de bissection sur [0, 1] pour calculer les zéros de (f). Cocher le nombre d'itérations necessaires pour calculer le(s) zéro(s) de
avec une tolérance
.
Type d'un point fixe
On considère la fonction
dont le graphe est représenté ici :
![]()
Remplir les cases suivantes: - La fonction
admet
point(s) fixe(s).
- Le point fixe O de
est
.
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