Le quotient d'un nombre entier
par un nombre entier
différent de
, est noté par la fraction
.
Le quotient
est donc le nombre qui multiplié par
donne
.
Remarque
On a toujours
, par exemple :
13 = 10
Dans l'écriture
,
est le dividende, et
le diviseur. Par exemple
dans l'écriture
, le dividende est
et le diviseur est
.
Dans l'écriture
,
est le numérateur (emprunté au latin numerator : celui qui compte ,
le dénominateur (emprunté au latin denominator : celui qui nomme , parce que ce terme dénomme, détermine les unités considérées). Par exemple dans la fraction
, le numérateur est
et le dénominateur est
.
La fraction est un quotient, c'est-à-dire le résultat d'une division, c'est-à-dire un nombre .
Définition [Numérateur]
C'est la partie de la fraction qui compte combien cette fraction contient de parties de l'unité.
Définition [Dénominateur]
C'est la partie d'une fraction qui indique en combien de parties égales l'unité est divisée.
On se donne la fraction
, que l'on peut considérer comme étant
. On se donne le segment unité :
Comme le dénominateur est
, on partage l'unité en
parties égales :
et donc on prend
parties de ce partage :
on a bien la distance
Deuxième idée
On se donne la fraction
, que l'on peut considérer comme étant la moitié de 3.
On se donne le segment unité :
Comme le numérateur est 3, on prend 3 fois cette longueur :
On divise cette longueur en 2
et on peut placer notre nombre :
Troisième idée
La fraction
est le nombre qui vaut est
car la division tombe juste (poser la division pour vérifier). Il est alors aisé de placer ce nombre sur un axe gradué.
Remarque
Dans toutes les méthodes utilisées ci-dessus, la distance de 0 à
est bien toujours la même (attention au changement dans le choix de l'unité quand même !)
On remarque que les deux rectangles sont superposables, et que les surfaces colorées aussi. Or dans le premier cas on a coloré les 2 quarts du rectangle, alors que dans le deuxième cas,
on a coloré les 8 seizièmes.
On peut en déduire que les fractions
et
sont égales.
On note :
. Un même nombre
(un quotient est un nombre)
peut donc s'écrire de plusieurs manières différentes.
On remarque aussi que :
Un quotient
ne change pas lorsque l'on multiplie (ou que l'on divise) son numérateur
et son dénominateur par un même nombre non nul. Soit
,
, et
des nombres, on a :
Exemple [Simplifier les fractions
]
En utilisant la règle ci-dessus, et en écrivant les différentes étapes, simplifier la fraction :
. On peut simplifier de deux manières différentes :
ou
Exemple [Trouver un décimal
]
On donne les fractions suivantes :
. On demande de l'écrire sous la forme d'une fraction décimale (fraction dont le dénominateur
est 10,100, 1000, ...) pour en déduire l'écriture décimale. On peut écrire :
On se donne une fraction
. On peut écrire
.
Ces écritures représentent le même nombre. Par contre, quand le numérateur ou
le dénominateur ne sont pas des entiers, on ne parle plus de fraction , mais
d'écriture fractionnaire.
Deuxième prolongement
On se donne la fraction
, on peut écrire
.
C'est bien cela que l'on a utilisé pour apprendre à faire des divisions avec des décimaux !
On vient de passer d'une écriture fractionnaire à une fraction.
Décimaux vers fractions
Tous les nombres décimaux (a fortiori les nombres entiers) admettent toujours
une (et donc plusieurs) écriture fractionnaire. Par exemple :
.
Remarque
Il est important de remarquer que la réciproque est fausse. Il existe des fractions qui n'ont pas d'écriture décimale,
par exemple :
est une fraction, mais n'est pas un nombre décimal, car si on effectue la division, elle ne s'arrête pas.
Théorème [Multiplication d'un nombre décimal par une fraction]
Pour multiplier un nombre décimal
par une fraction
(avec
), c'est-à-dire pour calculer
ou
, puisque la multiplication est commutative, on peut utiliser l'une ou l'autre des méthodes ci-dessous :
Méthode 1 On calcule, si on le peut, le quotient
puis on multiplie par
le résultat, ce que l'on peut aussi écrire :
.
Méthode 2 On calcule le produit
, puis on divise par
, ce que l'on peut aussi écrire :
.
Méthode 3 On calcule le quotient
, puis on multiplie le résultat par
, ce que l'on peut écrire :
.
Exemple
On se propose d'effectuer différents calculs avec les trois méthodes décrites :
Première méthode :
=
=
=
Deuxième méthode :
=
=
=
=
Troisième méthode :
=
=
=
=
Remarque
La première méthode n'est pas toujours pertinente.
La deuxième méthode peut faire manipuler des nombres importants.
La troisième méthode semble souvent rapide pour les calculs qui peuvent se faire de tête.