OEF Exposants rationnels et racines n-ièmes --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 12 exercices d'introduction aux exposants rationnels. Quelques utilisations pratiques sont données.

Calculer avec des exposants rationnels

  1. On peut écrire sous la forme .
  2. On peut écrire sous la forme .
  3. Calculer .

Calculer avec des exposants décimaux

On veut écrire les puissances rationnelles suivantes à l'aide du symbole .
Choisir la formule puis le ou les entiers positifs adaptés.

Question 1/6

A =
.

Question 2/6

B =
On utilise la formule choisie ci-dessus où et sont des nombres entiers positifs.

Question 3/6

C =

Question 4/6

D =
.

Question 5/6

E =
.

Question 6/6

Bravo ! Toutes les réponses sont bonnes !
Mais saurez vous trouver lequel de ces nombres est un nombre décimal ?

Les glaces

Glace en forme de cône la pointe en bas
Le Glacier des Alpes fabrique des glaces en forme de cône.
La glace simple tient dans un cône dont la hauteur est cm et le diamètre de l'ouverture est cm.
  1. En conservant les mêmes proportions, quels doivent être la hauteur et le diamètre de l'ouverture pour obtenir un volume double de glace ?
  2. Et pour la maxi glace dont le volume est le triple de la glace simple ?
Glace en forme de cône avec une demi-boule dessus
Les réponses sont-elles les mêmes si le cône est surmonté d'une demi-boule dont la base est le disque de l'ouverture ?

La duplication du cube

Si l'arête de l'autel avait pour longueur une unité, quelle devait être la longueur de l'arête du nouvel autel pour que son volume soit le double de celui de l'autel initial ?

(à 0,01 près).

.

Un dessin comme celui-ci aide à comprendre l'énoncé.

Si on appelle la nouvelle arête, alors le volume du cube d'arête doit être 2 fois celui du cube d'arête 1.

Écrire l'équation que doit vérifier puis essayer de la résoudre.

On considère la fonction cube définie sur [ 0 ; [ par .

Le nombre recherché est compris entre et .


Exemples d'exposants rationnels

Dans le cas du problème la duplication du cube, on cherche un nombre tel que . Ce nombre est noté .

Mais supposons qu'on le note comme une puissance de 2 soit .

Alors, en appliquant les règles des puissances, on doit avoir :

.

Ainsi donc . Autrement dit .

On va démontrer sur des cas particuliers que les formules des puissances s'appliquent aussi à des exposants rationnels.

N° 1/2

.

N° 2/2

Pour cela, on élève et à la puissance 3.

= =

et = = .

Comme et sont deux nombres réels positifs et que , on en déduit que .

Autrement dit = = .

N° 1/2

.

N° 2/2

Pour cela, on élève et à la puissance .

=
et = = = .

Comme et sont deux nombres réels positifs et que , on en déduit que .

Autrement dit = .

N° 1/2

.>

C

Démontrons que les nombres et sont égaux.

N° 2/2

Pour cela, on élève et à la puissance .

= = =

et = = .

Comme et sont deux nombres réels positifs et que , on en déduit que .

Autrement dit .


Démonstrations sur les exposants rationnels

Soit un nombre réel positif et un entier strictement positif, il existe un unique nombre réel strictement positif tel que .

Ce nombre est noté mais on le note aussi .

On a ainsi :
.

Ce qui est cohérent avec les règles habituelles des puissances.

On va démontrer dans le cas général que les formules des puissances s'appliquent aussi à des exposants rationnels. (5 démonstrations).

N° 1/2

.

N° 2/2

Pour cela, on élève et à la puissance .

= =

et = = .

Comme et sont deux nombres réels positifs et que , on en déduit que .

Autrement dit = = .

N° 1/2

.

N° 2/2

Pour cela, on élève et à la puissance .

=

et = = = .

Comme et sont deux nombres réels positifs et que , on en déduit que .

Autrement dit .

N° 1/2

.

N° 2/2

Pour cela, on élève et à la puissance .

= = =

et = = = .

Comme et sont deux nombres réels positifs et que , on en déduit que .

Autrement dit .

N° 1/2

.

N° 2/2

Pour cela, on élève et à la puissance .

= =

et = = = .

Comme et sont deux nombres réels positifs et que , on en déduit que .

Autrement dit = = .

N° 1/2

.

N° 2/2

Pour cela, on élève et à la puissance .

= =

et = = = .

Comme et sont deux nombres réels positifs et que , on en déduit que .

Autrement dit = = .


Exposants irrationnels

Peut-on définir ?

Sachant que , on va essayer d'encadrer .

Déterminer deux entiers consécutifs et tels que :
= et = .
Déterminer deux entiers consécutifs et tels que :
= et = .
Déterminer deux entiers consécutifs et tels que :
= et = .

La musique

(à 0,0001 près).

.

Un dessin comme celui-ci aide à comprendre l'énoncé.

De la note La3 à LA4, la fréquence est multipliée par 2.

De la note LA3 à RE#, puis de RE# à LA4, la fréquence est multipliée par le même nombre .

Quelle équation vérifie ce nombre ? Quelle est la valeur exacte de ? et sa valeur approchée ?

On appelle le nombre par lequel il faut multiplier la fréquence de LA3 pour obtenir celle de DO4.

Quelle équation vérifie ce nombre ? Quelle est la valeur exacte de ? et sa valeur approchée ?

On appelle le nombre par lequel il faut multiplier la fréquence de LA3 pour obtenir celle de LA#.

Quelle équation vérifie ce nombre ? Quelle est la valeur exacte de ? et sa valeur approchée ?

On considère la fonction définie sur [ 0 ; [ par .

Le nombre recherché est compris entre et .


Le placement d'Adrien

% (arrondir à 0,01 % près).

Le taux annuel moyen

  1. En 5 ans, la valeur d'une action est passée de € à €.
    % (arrondir à 0,1 % près).
  2. En 5 ans, la valeur d'une voiture a diminué de € à €.
    % (arrondir à 0,1 % près).

Le taux mensuel moyen de Bastien

% (arrondir à 0,01 % près).

Taux annuel

% (à 0,1 % près).
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