OEF Probabilités et variables aléatoires simples --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 6 exercices sur les probabilités conditionnelles, l'indépendance des événements, et les variables aléatoires discrètes dont la loi est donnée par un tableau.

Probabilité conditionnelle

Une usine fabrique des stylos à bille. Une étude statistique a montré que .
Chaque stylo est soumis à un contrôle de fabrication. Le contrôle des stylos présentant un défaut et des stylos sans défaut.

On tire au hasard un stylo dans la production. On note l'événement : "le stylo a un défaut " et l'événement : "le stylo n'a pas de défaut".
On note l'événement : "le stylo est refusé au contrôle" et l'événement "le stylo est accepté par le contrôle."

ANALYSE DES DONNEES DE L'ENONCE

Le nombre représente :

Vous avez trouvé que : = ; = ; = ; = ; = .

Construire l'arbre de probabilités correspondant à cette situation et en déduire les probabilités suivantes :

La probabilité qu'un stylo défectueux soit accepté par le contrôle est égale à .
La probabilité qu'un stylo soit défectueux et accepté par le contrôle est égale à .
La probabilité qu'un stylo accepté par le contrôle soit défectueux est égale à .

Donner la valeur exacte de chaque probabilité sous forme de fraction, ou sous forme décimale utilisant le point comme séparateur.
Ainsi, si la réponse juste est , on acceptera 1/100 ou 0.01 mais pas 0,01

Evénements indépendants

Un objet produit en série peut présenter, à l'issue de sa fabrication deux défauts A et B, qui se produisent indépendamment l'un de l'autre.Les objets ayant les deux défauts sont mis au rebut.

Sur l'ensemble de la production, % ont le défaut A, % ont le défaut B.


Tableau variable aléatoire 1

On considère une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans l'ensemble {,..,}, et dont la loi est donnée dans le tableau ci-dessous.

Les résultats pourront être arrondis au millième.

L'espérance de est = .

L'espérance de est ; on en déduit la variance de
L'écart-type de est donc .

Tableau variable aléatoire 2

Un objet produit en série a un coût de €.
Il peut présenter, à l'issue de sa fabrication deux défauts A et B.
La garantie permet de faire les réparations aux frais du fabricant avec les coûts suivant : Sur l'ensemble de la production, % des objets n'ont aucun défaut, % ont le seul défaut A, % ont le seul défaut B et % ont les deux défauts A et B.
On note la variable aléatoire, qui à chaque objet choisi au hasard, associe de cet objet.

Pour pouvoir déterminer la loi de probabilité de , il faut commencer par chercher l'ensemble des valeurs possibles pour la variable aléatoire .
Écrire ces valeurs possibles dans l'ordre croissant et séparées par des virgules:

Remplir ce tableau représentant la loi de la variable aléatoire
Calculer l'espérance mathématique de € défaut
et son écart-type (à près) : € défaut

Tableau variable aléatoire 2 (sans écart type)

Un objet produit en série a un coût de €.
Il peut présenter, à l'issue de sa fabrication deux défauts A et B.
La garantie permet de faire les réparations aux frais du fabricant avec les coûts suivant : Sur l'ensemble de la production, % des objets n'ont aucun défaut, % ont le seul défaut A, % ont le seul défaut B et % ont les deux défauts A et B.
On note la variable aléatoire, qui à chaque objet choisi au hasard, associe de cet objet.

Pour pouvoir déterminer la loi de probabilité de , il faut commencer par chercher l'ensemble des valeurs possibles pour la variable aléatoire .
Écrire ces valeurs possibles dans l'ordre croissant et séparées par des virgules:

Remplir ce tableau représentant la loi de la variable aléatoire
Calculer l'espérance mathématique de € défaut

Tableau variable aléatoire 3

Un objet produit en série a un coût de €.
Il peut présenter, à l'issue de sa fabrication deux défauts A et B.
Sur l'ensemble de la production,
La garantie permet de faire les réparations aux frais du fabricant avec les coûts suivant : On note la variable aléatoire, qui à chaque objet choisi au hasard, associe de cet objet.

Pour pouvoir déterminer la loi de probabilité de , il faut commencer par chercher l'ensemble des valeurs possibles pour la variable aléatoire .

Écrire ces valeurs possibles dans l'ordre croissant et séparées par des virgules:

Remplissez ce tableau représentant la loi de la variable aléatoire

Calculer l'espérance mathématique de € défaut
et l'écart-type de à près : € défaut The most recent version