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Mathématiques Première STI2D

Dernière mise à jour le 23/03/2021 (Euler Versailles)
Texte créé à partir du document :
B.O. spécial n°1 du 22 janvier 2019 - programme de l'enseignement de spécialité physique-chimie et mathématiques de la classe première STI2D
Ressources complémentaires : Euler Versailles

Intentions majeures

En étroite articulation avec le programme de l’enseignement commun de mathématiques qu’il permet à la fois de compléter et d’approfondir, le programme de la partie « mathématiques » de l’enseignement de spécialité physique-chimie et mathématiques est organisé autour de trois thèmes : géométrie dans le plan, nombres complexes et analyse. Il vise deux objectifs :Les activités menées en lien avec la physique-chimie donnent l’occasion de développer plus particulièrement les compétences « modéliser » et « représenter ».

Géométrie dans le plan

Trigonométrie

Contenus

  • Cercle trigonométrique. radian.
  • Mesures d'un angle orienté, mesure principale.
  • Fonctions circulaires sinus et cosinus : périodicité, variations, parité. Valeurs remarquables en 0, π6, π4, π3, π2, pi.
  • Fonctions tAcos(ωt+φ) et tAsin(ωt+φ) : amplitude, périodicité, phase à l'origine, courbes représentatives .

Capacités attendues

  • Effectuer des conversions de degré en radian, de radian en degré.
  • Résoudre, par lecture sur le cercle trigonométrique, des équations du type cos(x)=a et sin(x)=a.
  • Connaître et utiliser les relations entre sinus et cosinus des angles associés : x ; x ; πx ; π+x ; π2x ; π2+x.
  • Utiliser ces relations pour justifier les propriétés de symétrie des courbes des fonctions circulaires.

Commentaires ou autres

Commentaires

On vise une bonne familiarisation des élèves avec les fonctions trigonométriques, en appui sur le cercle trigonométrique.
Les élèves sont entraînés à mémoriser certains résultats sous forme d'images mentales basées sur le cercle trigonométrique.
En lien avec la physique, on utilise le vocabulaire « phase instantanée » pour désigner l'expression ωt+φ et « phase à l'origine » pour le paramètre φ.

Liens avec l’enseignement de physique-chimie

Grandeurs physiques associées à une onde mécanique sinusoïdale : amplitude, période, fréquence.

Produit scalaire

Contenus

  • Définition géométrique : si u et v sont non nuls, alors uv=u×v×cos(θ)θ est une mesure de l'angle entre u et v ; si u ou v est nul, alors uv=0.
  • Projection orthogonale d'un vecteur sur un axe.
  • Interprétation d'un produit scalaire en termes de projections orthogonales (du vecteur u sur l'axe dirigé par v ou du vecteur v sur l'axe dirigé par u).
  • Propriétés du produit scalaire : bilinéarité, symétrie.
  • Expressions, dans une base orthonormée, du produit scalaire de deux vecteurs, de la norme d'un vecteur.
  • Caractérisation de l'orthogonalité.
  • Théorème d'Al-Kashi, égalité du parallélogramme.

Capacités attendues

  • Calculer la projection d'un vecteur sur un axe.
  • Interpréter v×cos(θ) en termes de projection.
  • Utiliser un produit scalaire pour démontrer l’orthogonalité de deux vecteurs, pour calculer un angle non orienté.
  • Utiliser un produit scalaire pour calculer des longueurs.

Commentaires ou autres

Commentaires
Les situations de géométrie repérée sont traitées uniquement dans un repère orthonormé.

Le théorème d'Al-Kashi est présenté comme une généralisation du théorème de Pythagore.

Liens avec l'enseignement de physique-chimie
L'étude du travail d'une force lors d’un mouvement rectiligne permet de réinvestir la notion de produit scalaire et de projection d'un vecteur sur un axe. On démontre que le travail d'une force perpendiculaire à la trajectoire est nul ou encore que le travail de la force résultante est la somme des travaux des forces en présence (illustration de la propriété de bilinéarité du produit scalaire).

Nombres complexes

Contenus

Capacités attendues

  • Calculer et interpréter géométriquement la partie réelle, la partie imaginaire, le conjugué, le module et un argument d'un nombre complexe.
  • Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et vice versa.

Commentaires ou autres

Commentaires

La notation exponentielle et les opérations entre nombres complexes sous forme trigonométrique sont étudiées en classe terminale.

Analyse

Dérivées

Contenus

Point de vue local
  • Notations : (ΔyΔx) x 0, dydx(x 0), dfdx(x 0), f(x 0).
  • Approximation affine d'une fonction au voisinage d'un point.
Point de vue global
Calcul des dérivées :
  • d'une somme, d'un produit, de l'inverse, d'un quotient ;
  • de xx n pour n entier naturel non nul ; de x1x ;
  • d'un polynôme ;
  • des fonctions cosinus et sinus ;
  • de xf(ax+b), tAcos(ωt+φ) et tAsin(ωt+φ).

Capacités attendues

  • Utiliser les différentes notations du taux de variation et du nombre dérivé en un point.
  • Effectuer des calculs approchés à l’aide de l’approximation affine en un point.
  • Calculer une fonction dérivée.
  • Étudier le sens de variation d’une fonction.

Commentaires ou autres

Commentaires
  • Pour la fonction xx n, on généralise les résultats étudiés pour n = 2 et n = 3 dans le cadre de l'enseignement commun.
  • On fait remarquer la forme unifiée de l’expression de la dérivée de xx n pour n1 comme moyen mnémotechnique.
  • Pour la dérivée d'un produit, on présente le principe de la démonstration à partir du taux de variation.
  • Le résultat pour le quotient est admis à ce stade.
Liens avec l’enseignement de physique-chimie
Relation entre la puissance, l’énergie et la durée.
  • Si la relation y=f(x) traduit une dépendance entre deux grandeurs, les notations (ΔyΔx) x 0, dydx(x 0) ou dfdx(x 0) favorisent l'interprétation du nombre dérivé comme taux de variation infinitésimal.
  • L'approximation affine de f au voisinage de x 0 permet de calculer, au premier ordre,l’accroissement de la grandeur y=f(x) en fonction de celui de la grandeur x : Δy=f(x 0)Δx.
  • Cas particulier où la variable est le temps : lien entre nombre dérivé et vitesse, coordonnées du vecteur vitesse, accélération ; vitesse d’apparition d’un produit, de disparition d'un réactif.

Primitives

Contenus

  • Définition d'une primitive.
  • Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante.
  • Primitives d'un polynôme.
  • Primitives des fonctions tAcos(ωt+φ) et tAsin(ωt+φ).
  • Exemples de calcul approché d'une primitive par la méthode d’Euler.

Capacités attendues

  • Calculer des primitives.
  • Construire point par point, par la méthode d’Euler, une approximation de la courbe représentative de la solution d'un problème de Cauchy du type : y=f(t) et y(t 0)=y 0 .

Commentaires ou autres

Commentaires
  • Le théorème affirmant que deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante est admis mais commenté : on peut justifier par un argument cinématique qu’une fonction de dérivée identiquement nulle est constante ou encore, par un argument géométrique, que deux fonctions ayant en tout point le même nombre dérivé ont des « courbes parallèles », l'une étant obtenue à partir de l'autre par une translation verticale.
  • Pour la méthode d’Euler, on prend une fonction dont l’expression explicite d’une primitive n'est pas connue à ce stade (par exemple t1t ou t11+t 2 ).
Situations algorithmiques
Construire différents points d'une approximation de courbe intégrale par la méthode d'Euler.

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