Ressources de WIMS en relation avec les programmes

Mathématiques Terminale STL

Dernière mise à jour le 15/06/2020 (Euler Versailles)
Texte créé à partir du document :
B.O. n°8 du 25 juillet 2019 - programme de l'enseignement de spécialité physique-chimie et mathématiques de la classe terminale conduisant au baccalauréat technologique série Sciences et technologies de laboratoire (STL)
Ressources complémentaires : Euler Versailles

Intentions majeures

En étroite articulation avec le programme de l’enseignement commun qu’il permet à la fois de compléter et d’approfondir, le programme de l’enseignement de spécialité de physique-chimie et mathématiques vise deux objectifs :Plusieurs concepts et outils mathématiques, déjà abordés en classe de première, sont utilement consolidés et réinvestis dans le cadre d’activités conjointes menées avec le professeur de physique-chimie.
La progression retenue pour la partie « Mathématiques » du programme doit tenir compte à la fois de l’avancement de l’enseignement commun de mathématiques et de l’utilisation desnotions mathématiques dans l’enseignement de physique-chimie.

Analyse

Intégration

Contenus

  • Définition de l’intégrale entre a et b ( a<b) d’une fonction f positive sur [a;b] comme aire sous la courbe ; notation a bf(x)dx .
  • Approximation d’une intégrale par la méthode des rectangles. Mise en relation des écritures i=1 nf(x i)Δx i et a bf(x)dx .
  • Définition de l’intégrale d’une fonction négative sur [a;b] ; extension aux fonctions ne gardant pas un signe constant.
  • Définition de a bf(x)dx lorsque a>b
  • Propriétés de l’intégrale : linéarité, positivité, croissance, relation de Chasles.
  • Valeur moyenne d’une fonction.
  • Intégrale dépendant de sa borne supérieure : F(x)= a xf(t)dt; dérivée.
  • a bf(x)dx=F(b)F(a)F est une primitive de f.

Capacités attendues

  • Calculer l'intégrale d'une fonction sur un intervalle [a;b].
  • Calculer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle [a;b] .
  • Calculer une aire sous une courbe ou entre deux courbes.

Commentaires ou autres

Commentaires
  • L’existence de l'intégrale est admise pour toutes les fonctions considérées.
  • La formule de l’aire d’un rectangle (respectivement d’un trapèze) est utilisée pour calculer l’intégrale entre a et b d’une fonction constante (respectivement d’une fonction affine).
  • La propriété de croissance de l’intégrale et la relation de Chasles sont mises en relation avec les propriétés des aires dans le cas de fonctions positives et admises dans le cas général.
  • Un logiciel de géométrie dynamique permet de visualiser la méthode des rectangles et d’appréhender la fonction xF a(x)= a xf(t)dt.
  • Dans une intégrale a xf(t)dt on distingue le statut du paramètre a, de la variable x et de la variable muette t.
  • La valeur moyenne d’une fonction positive sur un intervalle [a;b] ’interprète comme l’une des dimensions d’un rectangle dont l’aire est égale à l’intégrale a bf(x)dx et dont l'autre vaut ba.
  • Dans le cas d'une fonction positive et croissante, la valeur de la dérivée en x 0 de la fonction xF a(x)= a xf(t)dt est obtenue en encadrant le taux de variation de F a entre x 0 et x 0+Δx par f(x 0) et f(x 0+Δx).
Situations algorithmiques et numériques
  • Calculer une valeur approchée d’une intégrale par la méthode des rectangles.
  • Estimer une aire par la méthode de Monte-Carlo.

La fonction exponentielle de base e

Contenus

  • Nombre e et fonction xe x.
  • Dérivée de la fonction xe x.
  • Dérivée de la fonction xe kx pour k réel.
  • Courbe représentative.
  • Limites en et en +.
  • Croissance comparée en + : lim x+e xx n; lim x+x ne x pour n entier naturel non nul.

Capacités attendues

  • Utiliser les propriétés algébriques de l’exponentielle pour transformer des expressions.
  • Etudier les variations de fonctions somme, produit ou quotient de fonctions exponentielles (du type xe kx pour k réel) et de fonctions polynômes.
  • Déterminer les limites en et en + de fonctions somme, produit ou quotient de fonctions exponentielles et de fonctions polynômes.

Commentaires ou autres

Commentaires
  • L’introduction de la fonction exponentielle fait suite au travail sur les fonctions xa x (pour a>0 ) de l’enseignement commun. Le nombre e est introduit en recherchant, à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, une valeur du paramètre a pour laquelle la fonction xa x a une tangente en 0 de pente égale à 1. L’existence et l’unicité de cette valeur, notée e (appelée nombre d’Euler), sont admises.
  • Une approche expérimentale permet de percevoir les résultats sur les limites. Dans les exercices, on étend naturellement et sans formalisme les résultats du cours à des fonctions du type xe kxx n ou xx ne kx pour des valeurs numériques strictement positives du réel k et de l’entier n.
  • L'égalité e x 0+Δxe x 0Δx=e x 0×e Δx1Δx permet de justifier la dérivée de xe x en x 0 .
  • La dérivée de est obtenue par application du résultat sur la dérivation de xf(ax+b) , au programme de la classe de première STL.
Liens avec l'eseignement de physique-chimie
  • Désintégration radioactive.
  • Régime permanent d'un système en lien avec la limite de la fonction exponentielle.
  • Cinétique d'une réaction chimique d'ordre 1.
Situations algorithmiques et numériques
  • Recherche d'une valeur approchée de e par balayage ou dichotomie sur les valeurs de a, le nombre dérivé en 0 de la fonctionxa x étant approché par le taux de variation pour un accroissement Δx arbitrairement fixé.

La fonction logarithme népérien

Contenus

  • Définition du logarithme népérien de a pour a>0 comme unique solution de l’équation e x=a ; notation ln.
  • Sens de variation.
  • Propriétés algébriques : ln(ab)=lna+lnb, ln(ab)=lnalnb, ln(a n)=nlna, ln(a)=12ln(a), ln(a x)=xlna pour n entier, x réel, a et b réels strictement positifs.
  • Lien avec le logarithme décimal.
  • Courbe représentative.
  • Limites en 0 et en +.

Capacités attendues

  • Utiliser les propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien pour transformer des expressions.
  • Résoudre des équations et des inéquations d'inconnue x du type : e ax=b ; e ax>b ; ln(x)=b ; ln(x)>b .
  • Etudier des fonctions somme, produit ou quotient de fonctions polynômes et de la fonction xln(x).

Commentaires ou autres

Commentaires
  • Pour la définition du logarithme népérien de a, l'existence et l'unicité de la solution de l'équation e x=a pour a>0 sont admises.
  • La croissance de la fonction logarithme népérien peut être obtenue à partir de la définition du logarithme népérien et de la croissance de la fonction exponentielle.
  • Le travail sur la fonction logarithme népérien est pensé en lien avec celui sur la fonction logarithme décimal de l'enseignement commun afin d'assurer la cohérence didactique.
  • L'égalité ln(a x)=xln(a) pour x non entier est admise. Elle peut être démontrée pour x entier.
  • L'expression de la dérivée de la fonction xln(x) peut être admise dans un premier temps, puis justifiée en appliquant le théorème de dérivation d'une fonction composée à la fonction xe ln(x) et en exploitant l'identité : e ln(x)=x
Liens avec l'eseignement de physique-chimie
  • Calcul de la demi-vie d'un élément radioactif.
  • Temps de demi-réaction d'une réaction chimique dont la cinétique est d’ordre 1.
  • Ondes sonores, pH et relation de Nernst en lien avec le logarithme décimal vu dans l’enseignement commun.

Équations différentielles

Contenus

  • Notion d'équation différentielle ; notion de solution.
  • Equations différentielles du type y=ay; y=ay+b.

Capacités attendues

  • Vérifier qu’une fonction donnée est solution d’une équation différentielle.
  • Déterminer l'ensemble d'une équation différentielle du type : y=ay+b.
  • Déterminer la solution d'une équation différentielle du type : y=ay+b vérifiant une condition initiale y(x 0) donnée.

Commentaires ou autres

Commentaires
  • Pour faciliter la compréhension de la notion d'équation différentielle, des exemples ne relevant pas uniquement du cadre linéaire à coefficients constants ou du premier ordre sont présentés. Par exemple: 2yxy=0, y+y 2=0, y+ω 2y=0 ...
  • Dans le cas de l'équation homogène y=ay, il est possible de démontrer que la somme de deux solutions et le produit d’une solution par une constante sont encore solutions.
  • L’unicité de la solution d’une équation différentielle vérifiant une condition initiale donnée est admise.
  • Les notations de la dérivée, y et dydx sont toutes deux utilisées. La première privilégie l’aspect fonctionnel, la seconde, particulièrement adaptée aux sciences physiques, met en évidence le nom de la variable et exprime un rapport de variations infinitésimales entre deux grandeurs.
Liens avec l'enseignement de physique-chimie
  • Chute verticale avec un frottement fluide proportionnel à la vitesse : régime permanent, temps caractéristique. Le temps caractéristique correspond à l'abscisse du point d'intersection de la tangente en 0 à la courbe représentative de la fonction vitesse avec l'asymptote horizontale à cette courbe ; on peut démontrer qu’il s’agit de l’instant où la vitesse atteint 63% environ de la vitesse limite.
  • Loi de décroissance radioactive: l’égalité symbolique dN=λNdt est à travailler conjointement avec le professeur de physique-chimie. Cette égalité traduit la proportionnalité du taux d'évolution du nombre de noyaux entre deux instants infiniment voisins t et t+Δt avec le nombre de noyaux à l'instant t : ΔNΔt=λN soit ΔN=λNΔt. Par passage à la limite, on obtient : dNdt=λN ou encore, en écriture différentielle : dN=λNdt.
Situations algorithmiques et numériques
  • Méthode d’Euler pour approcher la courbe représentative de la fonction exponentielle, solution de l’équation différentielle : y=y avec la condition initiale y(0)=1.

La composition de fonctions

Contenus

  • Définition de la composée de deux fonctions ; notation vu.
  • Dérivée de la composée de deux fonctions : (vu)=u×(vu).
  • Expression d'une primitive de uf(u) en fonction d'une primitive de f et de la fonction u.

Capacités attendues

  • Identifier la composée de deux fonctions dans une expression simple.
  • Calculer la dérivée des fonctions composées usuelles :
    • x(u(x)) n pour n entier relatif;
    • xcos(u(x)) et xsin(u(x)) ;
    • xe u(x) et xln(u(x)).
  • Calculer des primitives de fonctions de la forme :
    • xf(ax+b) connaissant une primitive de f;
    • uu n pour n entier relatif; cas particulier de cfracuu;
    • ue u, ucosu; usinu

Commentaires ou autres

Commentaires
  • La compréhension de la formule générale de dérivation d'une fonction composée peut s'appuyer sur l'écriture du taux de variation v(u(x))v(u(x 0))xx 0=v(u(x))v(u(x 0))u(x)u(x 0)×u(x)u(x 0)xx 0 sous la forme (Δ(vu)Δx) x 0=(ΔvΔu) u(x 0)×(ΔuΔx) x 0(avec un abus d'écriture dans le second memebre de cette dernière égalité)
  • La formule générale (vu)=u×(vu) permet d'unifier, en fin d'apprentissage, les résultats relatifs aux dérivées des fonctions composées usuelles.
  • La formule de la dérivée du quotient, admise en classe de première, peut être ici démontrée en écrivant : uv=u×1v.

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