Ressources de WIMS en relation avec les programmes

Contenus

• Définition de l’intégrale entre $a$ et $b$ ( $a<b$) d’une fonction $f$ positive sur $[a;b]$ comme aire sous la courbe ; notation ${\displaystyle {\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ .
• Approximation d’une intégrale par la méthode des rectangles. Mise en relation des écritures ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f\left(x_i\right)\Delta x_i}$ et ${\displaystyle {\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ .
• Définition de l’intégrale d’une fonction négative sur $[a;b]$ ; extension aux fonctions ne gardant pas un signe constant.
• Définition de ${\displaystyle {\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ lorsque $a>b$
• Propriétés de l’intégrale : linéarité, positivité, croissance, relation de Chasles.
• Valeur moyenne d’une fonction.
• Intégrale dépendant de sa borne supérieure : $F(x)={\displaystyle {\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{x}f(t)\mathrm{d}t}$; dérivée.
• ${\displaystyle {\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)}$ où $F$ est une primitive de $f$.

Capacités attendues

• Calculer l'intégrale d'une fonction sur un intervalle $[a;b]$.
• Calculer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle $[a;b]$ .
• Calculer une aire sous une courbe ou entre deux courbes.

Commentaires ou autres

• L’existence de l'intégrale est admise pour toutes les fonctions considérées.
• La formule de l’aire d’un rectangle (respectivement d’un trapèze) est utilisée pour calculer l’intégrale entre $a$ et $b$ d’une fonction constante (respectivement d’une fonction affine).
• La propriété de croissance de l’intégrale et la relation de Chasles sont mises en relation avec les propriétés des aires dans le cas de fonctions positives et admises dans le cas général.
• Un logiciel de géométrie dynamique permet de visualiser la méthode des rectangles et d’appréhender la fonction $x\mapsto F_a(x)={\displaystyle {\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{x}f(t)\mathrm{d}t}$.
• Dans une intégrale ${\displaystyle {\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{x}f(t)\mathrm{d}t}$ on distingue le statut du paramètre $a$, de la variable $x$ et de la variable muette $t$.
• La valeur moyenne d’une fonction positive sur un intervalle $[a;b]$ ’interprète comme l’une des dimensions d’un rectangle dont l’aire est égale à l’intégrale ${\displaystyle {\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ et dont l'autre vaut $b-a$.
• Dans le cas d'une fonction positive et croissante, la valeur de la dérivée en $x_0$ de la fonction $x\mapsto F_a(x)={\displaystyle {\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{x}f(t)\mathrm{d}t}$ est obtenue en encadrant le taux de variation de $F_a$ entre $x_0$ et $x_0+\Delta x$ par $f\left(x_0\right)$ et $f(x_0+\Delta x)$.

• Calculer une valeur approchée d’une intégrale par la méthode des rectangles.
• Estimer une aire par la méthode de Monte-Carlo.

Contenus

• Nombre $\mathrm{e}$ et fonction $x\mapsto {\mathrm{e}}^x$.
• Dérivée de la fonction $x\mapsto {\mathrm{e}}^x$.
• Dérivée de la fonction $x\mapsto {\mathrm{e}}^{kx}$ pour $k$ réel.
• Courbe représentative.
• Limites en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$.
• Croissance comparée en $+\mathrm{\infty }$ : ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x^n}}}$; ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^n{\mathrm{e}}^{-x}}$ pour $n$ entier naturel non nul.

Capacités attendues

• Utiliser les propriétés algébriques de l’exponentielle pour transformer des expressions.
• Etudier les variations de fonctions somme, produit ou quotient de fonctions exponentielles (du type $x\mapsto {\mathrm{e}}^{kx}$ pour $k$ réel) et de fonctions polynômes.
• Déterminer les limites en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$ de fonctions somme, produit ou quotient de fonctions exponentielles et de fonctions polynômes.

Commentaires ou autres

• L’introduction de la fonction exponentielle fait suite au travail sur les fonctions $x\mapsto a^x$ (pour $a>0$ ) de l’enseignement commun. Le nombre $\mathrm{e}$ est introduit en recherchant, à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, une valeur du paramètre $a$ pour laquelle la fonction $x\mapsto a^x$ a une tangente en 0 de pente égale à 1. L’existence et l’unicité de cette valeur, notée $\mathrm{e}$ (appelée nombre d’Euler), sont admises.
• Une approche expérimentale permet de percevoir les résultats sur les limites. Dans les exercices, on étend naturellement et sans formalisme les résultats du cours à des fonctions du type $x\mapsto {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{kx}}{x^n}}$ ou $x\mapsto x^n{\mathrm{e}}^{-kx}$ pour des valeurs numériques strictement positives du réel $k$ et de l’entier $n$.
• L'égalité ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{x_0+\Delta x}-{\mathrm{e}}^{x_0}}{\Delta x}}={\mathrm{e}}^{x_0}\times {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\Delta x}-1}{\Delta x}}$ permet de justifier la dérivée de $x\mapsto {\mathrm{e}}^x$ en $x_0$ .
• La dérivée de est obtenue par application du résultat sur la dérivation de $x\mapsto f(ax+b)$ , au programme de la classe de première STL.

• Désintégration radioactive.
• Régime permanent d'un système en lien avec la limite de la fonction exponentielle.
• Cinétique d'une réaction chimique d'ordre 1.

• Recherche d'une valeur approchée de $\mathrm{e}$ par balayage ou dichotomie sur les valeurs de $a$, le nombre dérivé en 0 de la fonction$x\mapsto a^x$ étant approché par le taux de variation pour un accroissement $\Delta x$ arbitrairement fixé.

Contenus

• Définition du logarithme népérien de $a$ pour $a>0$ comme unique solution de l’équation ${\mathrm{e}}^x=a$ ; notation $\ln$.
• Sens de variation.
• Propriétés algébriques : $\ln (ab)=\ln a+\ln b$, $\ln \left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)=\ln a-\ln b$, $\ln \left(a^n\right)=n\ln a$, $\ln \left(\sqrt{a}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \left(a\right)$, $\ln \left(a^x\right)=x\ln a$ pour $n$ entier, $x$ réel, $a$ et $b$ réels strictement positifs.
• Lien avec le logarithme décimal.
• Courbe représentative.
• Limites en 0 et en $+\mathrm{\infty }$.

Capacités attendues

• Utiliser les propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien pour transformer des expressions.
• Résoudre des équations et des inéquations d'inconnue $x$ du type : ${\mathrm{e}}^{ax}=b$ ; ${\mathrm{e}}^{ax}>b$ ; $\ln (x)=b$ ; $\ln (x)>b$ .
• Etudier des fonctions somme, produit ou quotient de fonctions polynômes et de la fonction $x\mapsto \ln (x)$.

Commentaires ou autres

• Pour la définition du logarithme népérien de $a$, l'existence et l'unicité de la solution de l'équation ${\mathrm{e}}^x=a$ pour $a>0$ sont admises.
• La croissance de la fonction logarithme népérien peut être obtenue à partir de la définition du logarithme népérien et de la croissance de la fonction exponentielle.
• Le travail sur la fonction logarithme népérien est pensé en lien avec celui sur la fonction logarithme décimal de l'enseignement commun afin d'assurer la cohérence didactique.
• L'égalité $\ln \left(a^x\right)=x\ln (a)$ pour $x$ non entier est admise. Elle peut être démontrée pour $x$ entier.
• L'expression de la dérivée de la fonction $x\mapsto \ln (x)$ peut être admise dans un premier temps, puis justifiée en appliquant le théorème de dérivation d'une fonction composée à la fonction $x\mapsto {\mathrm{e}}^{\ln (x)}$ et en exploitant l'identité : ${\mathrm{e}}^{\ln (x)}=x$

• Calcul de la demi-vie d'un élément radioactif.
• Temps de demi-réaction d'une réaction chimique dont la cinétique est d’ordre 1.
• Ondes sonores, pH et relation de Nernst en lien avec le logarithme décimal vu dans l’enseignement commun.

Contenus

• Notion d'équation différentielle ; notion de solution.
• Equations différentielles du type $y\prime =ay$; $y\prime =ay+b$.

Capacités attendues

• Vérifier qu’une fonction donnée est solution d’une équation différentielle.
• Déterminer l'ensemble d'une équation différentielle du type : $y\prime =ay+b$.
• Déterminer la solution d'une équation différentielle du type : $y\prime =ay+b$ vérifiant une condition initiale $y\left(x_0\right)$ donnée.

Commentaires ou autres

• Pour faciliter la compréhension de la notion d'équation différentielle, des exemples ne relevant pas uniquement du cadre linéaire à coefficients constants ou du premier ordre sont présentés. Par exemple: $2y-xy\prime =0$, $y\prime +y^2=0$, $y″+{\omega }^{2}y=0$ ...
• Dans le cas de l'équation homogène $y\prime =ay$, il est possible de démontrer que la somme de deux solutions et le produit d’une solution par une constante sont encore solutions.
• L’unicité de la solution d’une équation différentielle vérifiant une condition initiale donnée est admise.
• Les notations de la dérivée, $y\prime$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$ sont toutes deux utilisées. La première privilégie l’aspect fonctionnel, la seconde, particulièrement adaptée aux sciences physiques, met en évidence le nom de la variable et exprime un rapport de variations infinitésimales entre deux grandeurs.

• Chute verticale avec un frottement fluide proportionnel à la vitesse : régime permanent, temps caractéristique. Le temps caractéristique correspond à l'abscisse du point d'intersection de la tangente en 0 à la courbe représentative de la fonction vitesse avec l'asymptote horizontale à cette courbe ; on peut démontrer qu’il s’agit de l’instant où la vitesse atteint 63% environ de la vitesse limite.
• Loi de décroissance radioactive: l’égalité symbolique $\mathrm{d}N=-\lambda N\mathrm{d}t$ est à travailler conjointement avec le professeur de physique-chimie. Cette égalité traduit la proportionnalité du taux d'évolution du nombre de noyaux entre deux instants infiniment voisins $t$ et $t+\Delta t$ avec le nombre de noyaux à l'instant $t$ : ${\displaystyle \frac{\Delta N}{\Delta t}}=-\lambda N$ soit $\Delta N=-\lambda N\Delta t$. Par passage à la limite, on obtient : ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}}=-\lambda N$ ou encore, en écriture différentielle : $\mathrm{d}N=-\lambda N\mathrm{d}t$.

• Méthode d’Euler pour approcher la courbe représentative de la fonction exponentielle, solution de l’équation différentielle : $y\prime =y$ avec la condition initiale $y(0)=1$.

Contenus

• Définition de la composée de deux fonctions ; notation $v\circ u$.
• Dérivée de la composée de deux fonctions : $(v\circ u)\prime =u\prime \times (v\prime \circ u)$.
• Expression d'une primitive de $u\prime f(u)$ en fonction d'une primitive de $f$ et de la fonction $u$.

Capacités attendues

• Identifier la composée de deux fonctions dans une expression simple.
• Calculer la dérivée des fonctions composées usuelles :
  
  • $x\mapsto {\left(u\left(x\right)\right)}^n$ pour $n$ entier relatif;
  • $x\mapsto \cos \left(u\left(x\right)\right)$ et $x\mapsto \sin \left(u\left(x\right)\right)$ ;
  • $x\mapsto {\mathrm{e}}^{u(x)}$ et $x\mapsto \ln \left(u\left(x\right)\right)$.
• Calculer des primitives de fonctions de la forme :
  
  • $x\mapsto f(ax+b)$ connaissant une primitive de $f$;
  • $u\prime u^n$ pour $n$ entier relatif; cas particulier de $cfracu\prime u$;
  • $u\prime {\mathrm{e}}^u$, $u\prime \cos u$; $u\prime \sin u$

Commentaires ou autres

• La compréhension de la formule générale de dérivation d'une fonction composée peut s'appuyer sur l'écriture du taux de variation ${\displaystyle \frac{v\left(u\left(x\right)\right)-v\left(u\left(x_0\right)\right)}{x-x_0}}={\displaystyle \frac{v\left(u\left(x\right)\right)-v\left(u\left(x_0\right)\right)}{u\left(x\right)-u\left(x_0\right)}}\times {\displaystyle \frac{u\left(x\right)-u\left(x_0\right)}{x-x_0}}$ sous la forme ${\left({\displaystyle \frac{\Delta (v\circ u)}{\Delta x}}\right)}_{x_0}={\left({\displaystyle \frac{\Delta v}{\Delta u}}\right)}_{u\left(x_0\right)}\times {\left({\displaystyle \frac{\Delta u}{\Delta x}}\right)}_{x_0}$(avec un abus d'écriture dans le second memebre de cette dernière égalité)
• La formule générale $(v\circ u)\prime =u\prime \times (v\prime \circ u)$ permet d'unifier, en fin d'apprentissage, les résultats relatifs aux dérivées des fonctions composées usuelles.
• La formule de la dérivée du quotient, admise en classe de première, peut être ici démontrée en écrivant : ${\displaystyle \frac{u}{v}}=u\times {\displaystyle \frac{1}{v}}$.