Glossary

Argument d'un nombre complexe non nul
Middle school year 5 STI2D Spécialité ; Middle school year 6 Générale Experte

Description

Théorème

Un nombre complexe z est de module 1 si et seulement s'il existe un réel θ tel que z=cos(θ)+isin(θ).

Définition

On appelle argument d'un nombre complexe z de module 1 tout nombre réel θ tel que z=cos(θ)+isin(θ).
Remarque
Il arrive qu'on note, par abus de langage, θ=arg(z).

Théorème

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O;u→,v→). Soit z un nombre complexe de module 1 et M le point d'affixe z.
  • L'ensemble des arguments de z est l'ensemble des mesures en radians de l'angle (u→,OM→).
  • Soit θ 1 un argument de z. θ 2 est un argument de z si et seulement s'il existe un entier relatif k tel que θ 2=θ 1+2kπ.

Théorème

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O;u→,v→).
  • Pour tout nombre complexe non nul z, il existe un unique nombre complexe z 1 de module 1 tel que z=∣z∣z 1.
  • Soit z un nombre complexe non nul, z 1 le nombre complexe de module 1 tel que z=∣z∣z 1.
    Si M et M 1 sont les points d'affixes respectives z et z 1, alors (u→,OM→)=(u→,OM 1→)[2π].

Définition

Soit z un nombre complexe non nul, z 1 le nombre complexe de module 1 tel que z=∣z∣z 1.
On appelle argument de z tout argument de z 1.
Remarque
La notation arg(z) désigne n'importe quel argument du nombre complexe z.
Un intervalle I semi-ouvert de longueur 2π étant donné, on peut construire une fonction Arg qui, à tout nombre complexe non nul, associe celui de ses arguments qui appartient à l'intervalle I.

Théorème

Soit z, z 1 et z 2 trois nombres complexes non nuls.
  • arg(1z)=−arg(z)[2π]
  • arg(z 1z 2)=arg(z 1)+arg(z 2)[2π]
  • arg(z 1z 2)=arg(z 1)−arg(z 2)[2π]
  • pour tout entier naturel n, arg(z n)=narg(z)[2π]
  • arg(z ¯ )=−arg(z)[2π]
  • arg(−z)=arg(z)+π[2π]

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