Glossary

Forme exponentielle d'un nombre complexe non nul
Middle school year 6 Générale Experte ; Middle school year 6 STI2D Spécialité

Description

Définition

Soit θ un nombre réel. On pose :
e iθ=cosθ+isinθ

Théorème

Soit θ 1 et θ 2 deux nombres réels. Alors :
e i(θ 1+θ 2)=e iθ 1e iθ 2

Définition

Soit r un nombre réel strictement positif et θ un nombre réel.
Soit z le nombre complexe de module r et d'argument θ.
Une forme exponentielle de z est re iθ.

Théorème

Un complexe non nul z possède une infinité de formes exponentielles.
Si re iθ et r ′e iθ ′ sont deux formes exponentielles de z, alors r=r ′ et il existe un entier relatif k tel que θ ′=θ+2kπ.

Théorème

Soit z, z 1 et z 2 trois nombres complexes non nuls de formes exponentielles respectives re iθ, r 1e iθ 1 et r 2e iθ 2. Alors :
  • 1z=1re −iθ
  • z 1z 2=r 1r 2e i(θ 1+θ 2)
  • z 1z 2=r 1r 2e i(θ 1−θ 2)
  • pour tout entier relatif n, z n=r ne inθ
  • z¯=re i−θ
  • −z=re i(θ+π)
Author of the page: Euler, Académie de Versailles

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