Forme exponentielle d'un nombre complexe non nul
Middle school year 6 Générale Experte ; Middle school year 6 STI2D Spécialité

Description

Définition

Soit

θ

un nombre réel. On pose :

e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ

Théorème

Soit

θ_{1}

θ_{2}

deux nombres réels. Alors :

e^{i (θ_{1} + θ_{2})} = e^{i θ_{1}} e^{i θ_{2}}

Définition

Soit

r

un nombre réel strictement positif et

θ

un nombre réel.
Soit

z

le nombre complexe de module

r

et d'argument

θ

.
Une forme exponentielle de

z

est

r e^{i θ}

Théorème

Un complexe non nul

z

possède une infinité de formes exponentielles.
Si

r e^{i θ}

r^{'} e^{i θ^{'}}

sont deux formes exponentielles de

z

, alors

r = r^{'}

et il existe un entier relatif

k

tel que

θ^{'} = θ + 2 k π

Théorème

Soit

z

z_{1}

z_{2}

trois nombres complexes non nuls de formes exponentielles respectives

r e^{i θ}

r_{1} e^{i θ_{1}}

r_{2} e^{i θ_{2}}

. Alors :

$\frac{1}{z} = \frac{1}{r} e^{- i θ}$
$z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})}$
$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} e^{i (θ_{1} - θ_{2})}$
pour tout entier relatif $n$ , $z^{n} = r^{n} e^{i n θ}$
$\bar{z} = r e^{i - θ}$
$- z = r e^{i (θ + π)}$

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