Glossary

Module d'un nombre complexe
Middle school year 5 STI2D Spécialité ; Middle school year 6 Générale Experte

Description

Définition

Soit les réels x et y et soit z le nombre complexe défini par z=x+iy.
On appelle module de z le nombre réel, noté ∣z∣, défini par :
∣z∣=x 2+y 2

Remarque

Le module d'un nombre réel est égal à sa valeur absolue.

Propriété (interprétation géométrique)

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé (O;u→,v→).
Soit z un nombre complexe et M le point d'affixe z, on a : ∣z∣=OM.

Propriétés immédiates

  • Pour tout z∈ℂ, ∣z∣ 2=zz¯.
  • Pour tout z∈ℂ, ∣z∣⩾0.
  • Pour tout z∈ℂ, ∣z∣=0 si et seulement si z=0.
  • Pour tout z∈ℂ, ∣−z∣=∣z∣.
  • Pour tout z∈ℂ, ∣z¯∣=∣z∣.

Théorème

  • Pour tous z 1∈ℂ et z 2∈ℂ, ∣z 1z 2∣=∣z 1∣×∣z 2∣.
  • Pour tout z∈ℂ *, ∣1z∣=1∣z∣.
  • Pour tous z 1∈ℂ et z 2∈ℂ *, ∣z 1z 2∣=∣z 1∣∣z 2∣.
Author of the page: Euler, Académie de Versailles

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