Module d'un nombre complexe
Middle school year 5 STI2D Spécialité ; Middle school year 6 Générale Experte

Description

Définition

Soit les réels

x

y

et soit

z

le nombre complexe défini par

z = x + i y

.
On appelle module de

z

le nombre réel, noté

∣ z ∣

, défini par :

∣ z ∣ = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

Remarque

Le module d'un nombre réel est égal à sa valeur absolue.

Propriété (interprétation géométrique)

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé

(O; \vec{u}, \vec{v})

.
Soit

z

un nombre complexe et

M

le point d'affixe

z

, on a :

∣ z ∣ = OM

Propriétés immédiates

Pour tout $z \in ℂ$ , ${∣ z ∣}^{2} = z \bar{z}$ .
Pour tout $z \in ℂ$ , $∣ z ∣ ⩾ 0$ .
Pour tout $z \in ℂ$ , $∣ z ∣ = 0$ si et seulement si $z = 0$ .
Pour tout $z \in ℂ$ , $∣ - z ∣ = ∣ z ∣$ .
Pour tout $z \in ℂ$ , $∣ \bar{z} ∣ = ∣ z ∣$ .

Théorème

Pour tous $z_{1} \in ℂ$ et $z_{2} \in ℂ$ , $∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ \times ∣ z_{2} ∣$ .
Pour tout $z \in ℂ^{*}$ , $∣ \frac{1}{z} ∣ = \frac{1}{∣ z ∣}$ .
Pour tous $z_{1} \in ℂ$ et $z_{2} \in ℂ^{*}$ , $∣ \frac{z_{1}}{z_{2}} ∣ = \frac{∣ z_{1} ∣}{∣ z_{2} ∣}$ .

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