Glossary

Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul
Middle school year 5 STI2D Spécialité ; Middle school year 6 Générale Experte

Description

Définition

Soit r un nombre réel strictement positif et θ un nombre réel.
Soit z le nombre complexe de module r et d'argument θ.
Une forme trigonométrique de z est r(cosθ+isinθ).

Théorème

Un complexe non nul z possède une infinité de formes trigonométriques.
Si r(cosθ+isinθ) et r ′(cosθ ′+isinθ ′) sont deux formes trigonométriques de z alors r=r ′ et il existe un entier relatif k tel que θ ′=θ+2kπ.

Théorème

Soit z, z 1 et z 2 trois nombres complexes non nuls de formes trigonométriques respectives r(cosθ+isinθ), r 1(cosθ 1+isinθ 1) et r 2(cosθ 2+isinθ 2). Alors :
  • 1z=1r(cos(−θ)+isin(−θ))
  • z 1z 2=r 1r 2(cos(θ 1+θ 2)+isin(θ 1+θ 2))
  • z 1z 2=r 1r 2(cos(θ 1−θ 2)+isin(θ 1−θ 2))
  • pour tout entier relatif n, z n=r n(cos(nθ)+isin(nθ))
  • z¯=r(cos(−θ)+isin(−θ))
  • −z=r(cos(θ+π)+isin(θ+π))
Author of the page: Euler, Académie de Versailles

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