Glossary

Convexité
Middle school year 6 Générale Spécialité ; Middle school year 6 Générale Complémentaire

Description

Définition

Le plan est muni d'un repère orthogonal (O;i→,j→).
Soit I un intervalle de ℝ et soit f une fonction définie sur l'intervalle I.
On note C la courbe représentative de la fonction f dans le repère (O;i→,j→).
La fonction f est dite convexe sur I si et seulement si pour tous points A et B de la courbe C d'abscisses respectives des réels a et b de I tels que a<b, le segment [AB] est situé au-dessus de la courbe C sur l'intervalle [a;b].
La fonction f est dite concave sur I si et seulement si pour tous points A et B de la courbe C d'abscisses respectives des réels a et b de I tels que a<b, le segment [AB] est situé au-dessous de la courbe C sur l'intervalle [a;b].

La fonction f définie sur I=[;] de courbe repésentative 𝒞 est convexe sur I.

La fonction f définie sur I=[;] de courbe repésentative 𝒞 est concave sur I.


Again

Remarque

Une fonction qui n'est pas convexe sur I n'est pas nécessairement concave sur I.

La fonction f définie sur I=[−7;9] de courbe repésentative 𝒞 n'est ni convexe sur I ni concave sur I.
Néanmoins, la fonction f est convexe sur [−7;] et concave sur [;9].


Again

Théorème

Le plan est muni d'un repère orthogonal (O;i→,j→).
Soit I un intervalle de ℝ et soit f une fonction dérivable sur l'intervalle I.
On note C la courbe représentative de la fonction f dans le repère (O;i→,j→).
La fonction f est convexe sur I si et seulement si sa courbe représentative C est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes.
La fonction f est concave sur I si et seulement si sa courbe représentative C est entièrement située au-dessous de chacune de ses tangentes.

La fonction f définie sur I=[;] de courbe repésentative 𝒞 est concave sur I.


Again

Théorème

Soit I un intervalle de ℝ et soit f une fonction dérivable sur l'intervalle I.
La fonction f est convexe sur I si et seulement si sa fonction dérivée f ′ est croissante sur I.
La fonction f est concave sur I si et seulement si sa fonction dérivée f ′ est décroissante sur I.

Soit f la fonction définie et dérivable sur I=[;] de courbe repésentative 𝒞.
Soit f ′ la fonction dérivée de f de courbe repésentative 𝒞 f′.

La fonction f est convexe sur I.

La fonction f ′ est croissante sur I.


Again

Théorème

Soit I un intervalle de ℝ et soit f une fonction deux fois dérivable sur l'intervalle I.
La fonction f est convexe sur I si et seulement si sa fonction dérivée seconde f ″ est positive sur I.
La fonction f est concave sur I si et seulement si sa fonction dérivée seconde f ″ est négative sur I.

Soit f la fonction définie sur I=[−1;6] par f(x)= et de courbe repésentative 𝒞.

Étudier la convexité de f sur I.

Éléments de solution
La fonction f est dérivable sur I et pour tout réel x de I, f ′(x)=.
La fonction f ′ est dérivable sur I et pour tout réel x de I, f ″(x)=.
Le signe de f ″ sur I est donné par
x−16
Signe de f ″(x)
On en déduit que la fonction f est convexe sur [−1;] et concave sur [;6].

Again
Author of the page: Euler, Académie de Versailles

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