Description

Définition

Une suite

(u_{n})_{n \in ℕ}

est dite géométrique si et seulement s'il existe un réel

q

tel que, pour tout

n \in ℕ

u_{n + 1} = q u_{n}

.
Le réel

q

est appelé raison de la suite

(u_{n})_{n \in ℕ}

Théorème

(u_{n})_{n \in ℕ}

est une suite géométrique de raison

q

alors :

pour tout $n \in ℕ$ et pour tout $p \in ℕ$ tels que $p ⩽ n$ , on a $u_{n} = u_{p} \times q^{n - p}$ ;
pour tout $n \in ℕ$ , $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ .

Théorème

Soit

q

un réel différent de

1

(u_{n})_{n \in ℕ}

une suite géométrique de raison

q

Pour tout $n \in ℕ$ :
$1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$
Pour tout $n \in ℕ$ :
$\sum_{k = 0}^{n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$

$\sum_{k = 0}^{n} u_{k} = u_{0} \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$
Pour tout $n \in ℕ$ et tout $p \in ℕ$ tels que $p ⩽ n$ :
$\sum_{k = p}^{n} u_{k} = u_{p} + u_{p + 1} + \dots + u_{n}$

$\sum_{k = p}^{n} u_{k} = u_{p} \frac{1 - q^{n - p + 1}}{1 - q}$

Author of the page: Euler, Académie de Versailles

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Glossary

Suite géométrique
Middle school year 5 Générale et Technologique

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Théorème

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