Glossary

Point d'inflexion
Middle school year 6 Générale Spécialité ; Middle school year 6 Générale Complémentaire

Description

Définition

Le plan est muni d'un repère.
Soit I un intervalle de ℝ et soit f une fonction dérivable sur l'intervalle I.
On note 𝒞 la courbe représentative de la fonction f dans ce repère.
Soit A un point de la courbe 𝒞 et T la tangente à la courbe 𝒞 en A.
Le point A est un point d'inflexion de la courbe 𝒞 si et seulement si la courbe traverse la tangente T en A.

Soit f la fonction définie et dérivable sur I=[1;8] de courbe repésentative 𝒞.

Le point de la courbe 𝒞 d'abscisse est un point d'inflexion de 𝒞.


Again

Propriété

Le plan est muni d'un repère.
Soit I un intervalle de ℝ et soit f une fonction deux fois dérivable sur l'intervalle I.
On note 𝒞 la courbe représentative de la fonction f dans ce repère.
Soit A un point de la courbe 𝒞 d'abscisse a.
Le point A est un point d'inflexion de la courbe 𝒞 si et seulement si f ″ s'annule en a en changeant de signe.

Soit f la fonction définie sur I=[−5;2] par f(x)= et de courbe repésentative 𝒞.

Démontrer que f admet un point d'inflexion sur I.

Éléments de solution

La fonction f est dérivable sur I et pour tout réel x de I, f ′(x)=.

La fonction f ′ est dérivable sur I et pour tout réel x de I, f ″(x)=.

Le signe de f ″ sur I est donné par

x−52
Signe de f ″(x)

On en déduit que la fonction f est concave sur [−5;] et convexe sur [;2].


On en déduit que le point de coordonnées est un point d'inflexion de .


Again
Author of the page: Euler, Académie de Versailles

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