Description

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit.
Si un triangle

ABC

est rectangle en

A

alors

{BC}^{2} = {AB}^{2} + {AC}^{2}

Remarque

Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle connaissant les deux autres.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .
Une unité de longueur étant donnée, on a : $AC = 6$ et $BC = 10$ .

Calculer $AB$ .

Éléments de solution

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , d'après le théorème de Pythagore :

${BC}^{2} = {AB}^{2} + {AC}^{2}$
$10^{2} = {AB}^{2} + 6^{2}$
${AB}^{2} = 100 - 36$
${AB}^{2} = 64$

Il y a deux nombres qui ont pour carré $64$ : $- \sqrt{64}$ et $\sqrt{64}$ .
$AB$ étant une longueur, $AB$ est un nombre positif donc :

$AB = \sqrt{64}$
$AB = 8$

Again

Remarque

Le théorème de Pythagore permet de démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle en un de ses sommets.

Soit $ABC$ un triangle.
Une unité de longueur étant donnée, on a : $AB = 11$ ; $AC = 9$ et $BC = 15$ .

Démontrer que le triangle $ABC$ n'est pas rectangle.

Éléments de solution

$[BC]$ est le côté le plus long du triangle $ABC$ .

${BC}^{2} = 15^{2}$
${BC}^{2} = 225$
${AB}^{2} + {AC}^{2} = 11^{2} + 9^{2}$
${AB}^{2} + {AC}^{2} = 121 + 81$
${AB}^{2} + {AC}^{2} = 202$

D'où ${BC}^{2} \neq {AB}^{2} + {AC}^{2}$ .

$[BC]$ étant le côté le plus long du triangle $ABC$ , si $ABC$ était rectangle, il le serait en $A$ et d'après le théorème de Pythagore, on aurait ${BC}^{2} = {AB}^{2} + {AC}^{2}$ .

Puisque ${BC}^{2} \neq {AB}^{2} + {AC}^{2}$ , on en déduit que le triangle $ABC$ n'est pas rectangle.

Again

Réciproque du théorème de Pythagore

Soit

ABC

un triangle.
Si

{BC}^{2} = {AB}^{2} + {AC}^{2}

alors le triangle

ABC

est rectangle en

A

Soit $ABC$ un triangle.
Une unité de longueur étant donnée, on a : $AB = 4$ ; $AC = 3$ et $BC = 5$ .

Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle.

Éléments de solution

$[BC]$ est le côté le plus long du triangle $ABC$ .

${BC}^{2} = 5^{2}$
${BC}^{2} = 25$
${AB}^{2} + {AC}^{2} = 4^{2} + 3^{2}$
${AB}^{2} + {AC}^{2} = 16 + 9$
${AB}^{2} + {AC}^{2} = 25$

D'où ${BC}^{2} = {AB}^{2} + {AC}^{2}$ .

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$ .

Again

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Glossary

Théorème de Pythagore
Middle school year 2 Cycle 4

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Théorème de Pythagore

Remarque

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Réciproque du théorème de Pythagore

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