Glossary

Théorème de Pythagore
Middle school year 2 Cycle 4

Description

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit.
Si un triangle ABC est rectangle en A alors BC 2=AB 2+AC 2.

Remarque

Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle connaissant les deux autres.

Le triangle ABC est rectangle en A.
Une unité de longueur étant donnée, on a : AB=4 et BC=5.

Calculer AC.

Éléments de solution

Le triangle ABC est rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore :

BC 2=AB 2+AC 2
5 2=4 2+AC 2
AC 2=2516
AC 2=9

Il y a deux nombres qui ont pour carré 9 : 9 et 9.
AC étant une longueur, AC est un nombre positif donc :

AC=9
AC=3


Again

Remarque

Le théorème de Pythagore permet de démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle en un de ses sommets.

Soit ABC un triangle.
Une unité de longueur étant donnée, on a : AB=8 ; AC=6 et BC=11.

Démontrer que le triangle ABC n'est pas rectangle.

Éléments de solution

[BC] est le côté le plus long du triangle ABC.

  • BC 2=11 2
    BC 2=121
  • AB 2+AC 2=8 2+6 2
    AB 2+AC 2=64+36
    AB 2+AC 2=100

D'où BC 2AB 2+AC 2.

[BC] étant le côté le plus long du triangle ABC, si ABC était rectangle, il le serait en A et d'après le théorème de Pythagore, on aurait BC 2=AB 2+AC 2.

Puisque BC 2AB 2+AC 2, on en déduit que le triangle ABC n'est pas rectangle.


Again

Réciproque du théorème de Pythagore

Soit ABC un triangle.
Si BC 2=AB 2+AC 2 alors le triangle ABC est rectangle en A.

Soit ABC un triangle.
Une unité de longueur étant donnée, on a : AB=6 ; AC=8 et BC=10.

Démontrer que le triangle ABC est rectangle.

Éléments de solution

[BC] est le côté le plus long du triangle ABC.

  • BC 2=10 2
    BC 2=100
  • AB 2+AC 2=6 2+8 2
    AB 2+AC 2=36+64
    AB 2+AC 2=100

D'où BC 2=AB 2+AC 2.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est donc rectangle en A.


Again
Author of the page: Euler, Académie de Versailles

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