OEF Calculs algébriques avec logarithmes ou exponentielles --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 20 exercices de classe Terminale, sur les calculs algébriques avec des logarithmes et des exponentielles.

Réécriture avec des exponentielles (1)

Réécrire sous la forme exp( ), où est un entier relatif.

= exp ( ).

Réécriture avec des exponentielles (2)

On donne    , où exp désigne la fonction exponentielle.

Réécrire sous la forme exp( ) , où est une expression sans exponentielle.

= exp ( ).

Exponentielles et Notation Puissance

exp désigne la fonction exponentielle de base e.
On considère l'expression    .

Réécrire sous la forme exp( ).

= exp ( ).

Réécrire avec une seule exponentielle

Ecrire sous la forme , où l'exposant est développé :

=  


Inéquation du type ce ax+b+d>0

On veut étudier en fonction de le signe de :   .
Pour ce faire, on commence par résoudre l'inéquation   .

Résolvez l'inéquation sur papier libre puis complétez les affirmations suivantes.


Inéquation du type ce ax+b>d

On veut résoudre dans RR l'inéquation (I) :   .

Résolvez (I) sur papier libre, en complétant les affirmations suivantes.


Inéquation avec logarithmes (1)

On veut résoudre dans RR l'inéquation (I) :   .

Résolvez (I) sur papier libre, puis complétez les affirmations suivantes.

  1. Le premier membre de (I) est défini à condition que .
  2. Le second membre de (I) est défini à condition que .
  3. Pour tout réel vérifiant les conditions 1. et 2. , on a :

       
  4. On en déduit que l'ensemble des solutions de (I) est

Inéquation avec logarithmes (1 bis)

Cet exercice comporte 3 étapes.

On veut résoudre dans l'inéquation (E) : .

1. Le premier membre de (E) est défini à condition que .
Bonne réponse !
2. Le second membre de (E) est défini à condition que .
Bonne réponse !

3. Effectivement, l'inéquation (E) est défini pour tout réel vérifiant les conditions et .

On peut alors écrire :
On en déduit que l'ensemble des solutions de (I) est

Inéquation avec logarithmes (2)

On veut résoudre dans RR l'inéquation (I) :   .

Résolvez (I) sur papier libre, puis complétez les affirmations suivantes.

Pour écrire vous devez entrer exp(a) ou e^(a).

  1. Le premier membre de (I) est défini si et seulement si .
  2. La condition 1. étant vérifiée, on peut écrire les équivalences suivantes :

    (I)     ln( )
    (I)    
  3. L'ensemble des solutions de (I) est

Inéquation avec logarithmes (3)

On veut résoudre dans RR l'inéquation (I) :   .

Résolvez (I) sur papier libre, puis écrivez son ensemble de solutions à l'aide des menus déroulants ci-dessous.

Pour écrire l'ensemble vide, saisir ] 0 ; 0 [.

L'ensemble des solutions de (I) est l'intervalle :
] ; [

Inéquation résolue en ln

Résoudre dans RR l'inéquation (I) :   .

Il s'agit de répondre aux questions suivantes :
  1. A quelle condition sur le premier membre de (I) est-il défini ?

  2. A quelle condition sur le second membre de (I) est-il défini ?

  3. Pour vérifiant les conditions 1. et 2. , on peut simplifier (I) en une inéquation (I') du premier degré.
    Poser l'inéquation (I'). Quelles sont les solutions de (I') ?

  4. En déduire l'ensemble des solutions de (I).
    (il faut tenir compte des conditions obtenues en 1., 2. et 3.)


Voici une résolution détaillée de (I) : ) est défini à condition que , c'est à dire que .

ln( ) est défini à condition que , c'est à dire que .

Pour tout réel vérifiant ces deux conditions, on peut ramener (I) à une inéquation du premier degré en appliquant la règle            

Les réels solutions de (I) doivent donc vérifier les trois inégalités :

   et   et 

Chaque inégalité définit un intervalle ; l'ensemble des solutions est l'intersection des trois intervalles.

∈    avec   =
∈    avec   =
∈    avec   =
solution de (I) si et seulement si ∈ cap cap

Formons d'abord l'intersection des deux premiers intervalles :

= cap =

Cet ensemble est vide, donc a fortiori l'intersection est vide aussi.
Conclusion : L'inéquation (I) n'a aucune solution.

L'intersection de avec est vide.
Conclusion
: L'inéquation (I) n'a aucune solution.

Formons ensuite l'intersection avec le troisième intervalle :

= cap =

Conclusion : L'ensemble des solutions de (I) est .



Réécriture avec des logarithmes (1)

On donne , où ln désigne la fonction logarithme népérien.

Réécrire sous la forme ln( ), où est un nombre rationnel.

= ln ( ).
Réécrire sous la forme où et sont des entiers relatifs.

= .

Réécriture avec des logarithmes (2)

On donne , où ln désigne la fonction logarithme népérien.

Réécrire comme le logarithme d'un produit :

avec n = et m = .
Réécrire comme une somme de logarithmes :

= n ln( ) + m ln( ) avec n = et m = .

Logarithme et suites géométriques

On considère la suite géométrique ( ) de premier terme et de raison .
On cherche pour quelles valeurs de l'entier on a .
Il s'agit donc de résoudre dans NN l'inéquation (I) :    

Résolvez (I) sur papier libre, puis complétez les affirmations suivantes.

  1. La suite géométrique est et .

  2. L'inéquation (I) équivaut à ln( ) / ln(q) .

  3. Les solutions de l'inéquation (I) sont tous les entiers naturels à l'entier = .


Etude d'une fonction logarithme (QCM)

On considère la fonction définie par la formule .
Faites-en l'étude sur papier libre, puis remplissez le questionnaire suivant.


Signe d'une expression avec exp (1)

Etudier, en fonction de le signe de l'expression .


Signe d'une expression avec exp (2)

On veut étudier en fonction de le signe de :   .

Pour ce faire, on commence par regarder si ce signe peut être déterminé de manière immédiate.


Signe d'une expression avec ln (1)

L'expression est définie si , c'est à dire si .

On veut étudier dans le signe de l'expression :   .

On doit donc résoudre l'inéquation

Compléter les étapes suivantes ; pour écrire vous devez entrer exp(a) ou e^(a).


Signe d'une expression avec ln (2)

L'expression est définie si , c'est à dire si appartient à l'intervalle .

On veut étudier dans le signe de l'expression :   .

Résoudre sur papier libre l'inéquation puis compléter le tableau de signes.

Pour écrire vous devez entrer exp(a) ou e^(a).

0


Simplifications de base

Simplifier l'expression suivante sous forme d'un entier relatif.

= .
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