Glossaire

Convexité
Terminale Générale Spécialité ; Terminale Générale Complémentaire

Description

Définition

Le plan est muni d'un repère orthogonal (O;i→,j→).
Soit I un intervalle de ℝ et soit f une fonction définie sur l'intervalle I.
On note C la courbe représentative de la fonction f dans le repère (O;i→,j→).
La fonction f est dite convexe sur I si et seulement si pour tous points A et B de la courbe C d'abscisses respectives des réels a et b de I tels que a<b, le segment [AB] est situé au-dessus de la courbe C sur l'intervalle [a;b].
La fonction f est dite concave sur I si et seulement si pour tous points A et B de la courbe C d'abscisses respectives des réels a et b de I tels que a<b, le segment [AB] est situé au-dessous de la courbe C sur l'intervalle [a;b].

La fonction f définie sur I=[;] de courbe repésentative 𝒞 est convexe sur I.

La fonction f définie sur I=[;] de courbe repésentative 𝒞 est concave sur I.


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Remarque

Une fonction qui n'est pas convexe sur I n'est pas nécessairement concave sur I.

La fonction f définie sur I=[−5;1] de courbe repésentative 𝒞 n'est ni convexe sur I ni concave sur I.
Néanmoins, la fonction f est convexe sur [−5;] et concave sur [;1].


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Théorème

Le plan est muni d'un repère orthogonal (O;i→,j→).
Soit I un intervalle de ℝ et soit f une fonction dérivable sur l'intervalle I.
On note C la courbe représentative de la fonction f dans le repère (O;i→,j→).
La fonction f est convexe sur I si et seulement si sa courbe représentative C est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes.
La fonction f est concave sur I si et seulement si sa courbe représentative C est entièrement située au-dessous de chacune de ses tangentes.

La fonction f définie sur I=[;] de courbe repésentative 𝒞 est convexe sur I.


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Théorème

Soit I un intervalle de ℝ et soit f une fonction dérivable sur l'intervalle I.
La fonction f est convexe sur I si et seulement si sa fonction dérivée f ′ est croissante sur I.
La fonction f est concave sur I si et seulement si sa fonction dérivée f ′ est décroissante sur I.

Soit f la fonction définie et dérivable sur I=[;] de courbe repésentative 𝒞.
Soit f ′ la fonction dérivée de f de courbe repésentative 𝒞 f′.

La fonction f est concave sur I.

La fonction f ′ est décroissante sur I.


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Théorème

Soit I un intervalle de ℝ et soit f une fonction deux fois dérivable sur l'intervalle I.
La fonction f est convexe sur I si et seulement si sa fonction dérivée seconde f ″ est positive sur I.
La fonction f est concave sur I si et seulement si sa fonction dérivée seconde f ″ est négative sur I.

Soit f la fonction définie sur I=[;] par et de courbe repésentative .

Étudier la convexité de f sur .

Éléments de solution
La fonction f est dérivable sur et pour tout réel x de , .
La fonction est dérivable sur et pour tout réel x de , .
Le signe de sur est donné par
x
Signe de
On en déduit que la fonction f est concave sur .

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Auteur de la page: Euler, Académie de Versailles

Notions connexes

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