Glossaire

Barycentre d'un système de points pondérés
Terminale Générale Spécialité (Approfondissement)

Description

Théorème

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, ${\mathrm{A}}_1,{\mathrm{A}}_2,\cdots ,{\mathrm{A}}_n$ des points de l'espace et $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ des réels tels que ${\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i\ne 0}$.
Il existe un unique point $\mathrm{G}$ tel que

${\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i\overrightarrow{{\mathrm{GA}}_i}=\overrightarrow{0}}$

Définition

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, ${\mathrm{A}}_1,{\mathrm{A}}_2,\cdots ,{\mathrm{A}}_n$ des points de l'espace et $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ des réels tels que ${\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i\ne 0}$.
Soit $\mathrm{G}$ le point tel que

${\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i\overrightarrow{{\mathrm{GA}}_i}=\overrightarrow{0}}$

Le point $\mathrm{G}$ est appelé barycentre du système de points pondérés $\{({\mathrm{A}}_i,a_i){\}}_{1\le i\le n}$.

Théorème

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, ${\mathrm{A}}_1,{\mathrm{A}}_2,\cdots ,{\mathrm{A}}_n$ des points de l'espace, $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ des réels tels que ${\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i\ne 0}$ et $\mathrm{G}$ le barycentre du système de points pondérés $\{({\mathrm{A}}_i,a_i){\}}_{1\le i\le n}$.
Pour tout point $\mathrm{M}$ de l'espace,

${\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i\overrightarrow{{\mathrm{MA}}_i}=\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)\overrightarrow{\mathrm{MG}}}$

Le barycentre $G$ du système de points pondérés $\{(A,3),(B,4),(C,1)\}$ est le point $G$ tel que $3\overrightarrow{GA}+4\overrightarrow{GB}+1\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Chercher les nombres 3, 4, 1 dans le partage des segments $[AB]$, $[BC]$ et $[CA]$ par les segments coloriés en gras.

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Théorème

On ne change pas le barycentre de $n$ points pondérés lorsqu'on remplace $p$ de ces points par leur barycentre affecté de la somme des coefficients des $p$ points considérés.

Le dessin suivant illustre l'associativité du barycentre.

Soit $G$ le barycentre des points pondérés $\{(A,2),(B,5),(C,1)\}$.

• $G_1$ est le barycentre de $(B,5)$ et de $(C,1)$ et $G$ est le barycentre de $(G_1,6)$ et de $(A,2)$.
• $G_2$ est le barycentre de $(A,2)$ et de $(C,1)$ et $G$ est le barycentre de $(G_2,3)$ et de $(B,5)$.
• $G_3$ est le barycentre de $(A,2)$ et de $(B,5)$ et $G$ est le barycentre de $(G_3,7)$ et de $(C,1)$.

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Auteur de la page: Euler, Académie de Versailles,Bernadette, Perrin-Riou

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