Ressources de WIMS en relation avec les programmes

Problèmes possibles

• Modèles issus de contextes géométriques (expression de distance, d'aires, de volumes en fonction d'un paramètre), physiques, biologiques, économiques (fonctions de coût, coût marginal, coût moyen).
• Études de variations, résolutions d'équation, optimisation dans des configurations géométriques, physiques, économiques, etc.

Contenus associés

• Continuité, théorème des valeurs intermédiaires.
• Fonction dérivée. Sens de variation. Extremums.
• Fonctions de référence.
• Convexité.
• Statistique à deux variables.

Exemples d'algorithme

• Résolution d'équations par balayage, par dichotomie.

Problèmes possibles

• Évolution d'un capital, amortissement d'une dette.
• Loi de décroissance radioactive : modèle discret, modèle continu.
• Décharge, charge d'un condensateur, à partir de l'équation différentielle.
• Loi de refroidissement de Newton (modèle discret).
• Chute d'un corps dans un fluide visqueux.
• Dynamique des populations : modèle de Malthus (géométrique), modèle de Verhulst (logistique) discret $N_{t+1}=N_t+r{N}_t(k-N_t)$, ou continu : $y\prime =ay(b-y)$.
• Modèle proie prédateur discrétisé : évolution couplée de deux suites récurrentes.

Contenus associés

• Suites récurrentes.
• Suites géométriques. Fonction exponentielle.
• Suites arithmético-géométriques. Équation différentielle $y\prime =ay+b$.
• Limites.

Exemples d'algorithme

• Calcul des termes d'une suite.
• Recherche de seuils.
• Méthode d'Euler.

Problèmes possibles

• Le développement des besoins pratiques de calcul, notamment pour l'astronomie ou la navigation conduit à la recherche de méthodes facilitant multiplication, division, extraction de racine. Influence des tables trigonométriques.
• Lien entre suites arithmétiques et géométriques (depuis Archimède). Construction de tables d'intérêts.
• Les travaux de Neper. Le passage du discret au continu.
• Vision fonctionnelle $f(xy)=f(x)f(y)$.
• Quadrature de l'hyperbole, problème des sous-tangentes constantes.

Contenus associés

• Suites arithmétiques, suites géométriques.
• Fonction logarithme.
• Calcul intégral.

Exemples d'algorithme

• Algorithme de Briggs.
• Approximation de $\ln 2$ par dichotomie selon l'algorithme de Brouncker.

Problèmes possibles

• Quadrature de la parabole par la méthode d'Archimède.
• Quadrature de l'hyperbole par une ou deux méthodes (Brouncker, Grégoire de Saint-Vincent).
• Approximation de l'aire sous la courbe de la fonction exponentielle sur $[0,1]$ par la méthode des rectangles.
• Estimation de l'aire sous une courbe par la méthode de Monte-Carlo.
• Approximation de $\pi$ et aire d'un disque.

Contenus associés

• Limites de suites.
• Intégrale d'une fonction continue et positive.
• Primitives.
• Continuité et dérivation.
• Probabilités.

Exemples d'algorithme

• Calcul d'un terme de rang donné d'une suite.
• Recherche d'une valeur approchée de précision donnée.

Problèmes possibles

• Tirages aléatoires avec remise d'une boule dans une urne contenant des boules de deux couleurs différentes. Simulations. Calculs de probabilité.
• Test d'une pièce, par construction d'un intervalle $I$ centré en ${\displaystyle \frac{n}{2}}$ tel que $P(X\in I)⩾1-\alpha$ où $X$ est une variable aléatoire suivant la loi binomiale $ℬ(n,{\displaystyle \frac{1}{2}})$.
• Surréservation. Construction d'un intervalle $I$ de la forme $[0,k]$ tel que $P(X\in I)⩾1-\alpha$ où $X$ est une variable aléatoire suivant la loi binomiale $ℬ(n,p)$.
• Sondages par échantillonnage aléatoire simple. Fourchette de sondage. Réflexion sur la réalisation effective d'un sondage et les biais possibles (représentativité, sincérité des réponses, etc.).
• Démarche des tests d'hypothèse et de l'estimation. Les observations étant vues comme un échantillon aléatoire d'expériences régies par une loi inconnue (à découvrir), il s'agit de confronter une modélisation théorique proposée avec les résultats mesurés. Une bonne adéquation peut permettre de valider a priori le modèle (avec un certain degré de confiance), tandis que l'observation d'évènements donnés avec une probabilité très faible dans le modèle peut conduire à rejeter le modèle et à en chercher un autre.

Contenus associés

• Épreuve et loi de Bernoulli.
• Schéma de Bernoulli et loi binomiale.
• Lois uniformes discrètes et continues sur $[0,1]$.

Exemples d'algorithme

• Dans le cadre de la loi binomiale : calcul de coefficients binomiaux (triangle de Pascal), de probabilités ; détermination d'un intervalle $I$ pour lequel la probabilité $P(X\in I)$ est inférieure à une valeur donnée $\alpha$, ou supérieure à $1-\alpha$.
• Simulation avec Python d'une variable aléatoire (de la loi de Bernoulli, d'une loi uniforme discrète, etc.) d'un échantillon de taille n d'une variable aléatoire. Fonction Python renvoyant une moyenne pour un échantillon. Série des moyennes pour $N$ échantillons de taille $n$ d'une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma$. Calcul de l'écart type $s$ de la série des moyennes des échantillons observés, à comparer à ${\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$ . Calcul de la proportion des cas où l'écart entre la moyenne $m$ et $\mu$ est inférieur ou égal à ${\displaystyle \frac{k\sigma }{\sqrt{n}}}$ ou à $\mathrm{ks}$, pour $k=2$ ou $k=3$.

Problèmes possibles

• Durée de vie d'un atome radioactif. Discrétisation d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle.
• Exemples de modélisation par une variable aléatoire suivant une loi géométrique ou exponentielle : durée entre deux appels téléphoniques, durée de vie d'un composant électronique, période de retour de crue, etc.
• Utilisation de la loi uniforme. Temps d'attente à un arrêt de bus, paradoxe de l'inspection.

Contenus associés

• Lois à densité.
• Loi géométrique, loi exponentielle.
• Absence de mémoire, discrète ou continue.

Exemples d'algorithme

• Simulation d'une variable aléatoire de loi géométrique à partir du schéma de Bernoulli.
• Simulation d'une loi exponentielle à partir d'une loi uniforme.
• Demi-vie d'un échantillon de grande taille d'atomes radioactifs.

Contenus

• Approche intuitive de la notion de limite, finie ou infinie, d'une suite, des opérations sur les limites, du passage à la limite dans les inégalités et du théorème des gendarmes.
• Limite d'une suite géométrique de raison positive.
• Limite de la somme des termes d'une suite géométrique de raison positive strictement inférieure à 1.
• Suites arithmético-géométriques.

Capacités attendues

• Modéliser un problème par une suite donnée par une formule explicite ou une relation de récurrence.
• Calculer une limite de suite géométrique, de la somme des termes d'une suite géométrique de raison positive et strictement inférieure à 1.
• Représenter graphiquement une suite donnée par une relation de récurrence $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ où $f$ est une fonction continue d'un intervalle $I$ dans lui-même. Conjecturer le comportement global ou asymptotique d'une telle suite.
• Pour une récurrence arithmético-géométrique : recherche d'une suite constante solution particulière ; utilisation de cette suite pour déterminer toutes les solutions.

Commentaires ou autres

• Limite des sommes des termes d'une suite géométrique de raison positive strictement inférieure à 1.

• Recherche de seuils.
• Pour une suite récurrente $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$, calcul des termes successifs.
• Recherche de valeurs approchées de constantes mathématiques, par exemple $\pi$, $\ln 2$, $\sqrt{2}$.

Contenus

• Notion de limite. Lien avec la continuité et les asymptotes horizontales ou verticales. Limites des fonctions de référence (carré, cube, racine carrée, inverse, exponentielle, logarithme).
• Théorème des valeurs intermédiaires (admis). Cas des fonctions strictement monotones.
• Réciproque d'une fonction continue strictement monotone sur un intervalle, représentation graphique.
• Fonction logarithme népérien : réciproque de la fonction exponentielle. Limites, représentation graphique. Équation fonctionnelle. Fonction dérivée.
• Fonction dérivée de $x⟼f(ax+b)$, $x⟼e^{u(x)}$, $x⟼\ln (x)$, $x⟼{u(x)}^2$.

Capacités attendues

• Calculer une fonction dérivée, calculer des limites. Dresser un tableau de variation.
• Dans le cadre de la résolution de problème, utiliser le calcul des limites, l'allure des courbes représentatives des fonctions inverse, carré, cube, racine carrée, exponentielle et logarithme.
• Exploiter le tableau de variation pour déterminer le nombre de solutions d'une équation du type $f(x)=k$, pour résoudre une inéquation du type $f(x)⩽k$.
• Déterminer des valeurs approchées, un encadrement d'une solution d'une équation du type $f(x)=k$.
• Utiliser l'équation fonctionnelle de l'exponentielle ou du logarithme pour transformer une écriture, résoudre une équation, une inéquation.
• Utiliser la relation $\ln q^n=n\ln q$ pour déterminer un seuil.

Commentaires ou autres

• Relations $\ln (ab)=\ln a+\ln b$, $\ln \left({\displaystyle \frac{1}{b}}\right)=-\ln a$.
• Calcul de la fonction dérivée du logarithme, en admettant sa dérivabilité.
• Calcul de la fonction dérivée de $\ln u$, de $\exp u$.

• Méthodes de recherche de valeurs approchées d'une solution d'équation du type $f(x)=k$ : balayage, dichotomie, méthode de Newton.
• Algorithme de Briggs pour le calcul de logarithmes.

Contenus

• Sur des exemples, notion d'une solution d'équation différentielle.
• Notion de primitive,
  • Exercices
  • Primitive de forme donnée (1)
  • Primitive de forme donnée (2)
  • Calculs de dérivées (ln et exp) et primitives (exp)
  en liaison avec l'équation différentielle $y\prime =f$. Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante. Exemples.
• Équation différentielle $y\prime =ay+b$ , où $a$ et $b$ sont des réels ; allure des courbes.

Capacités attendues

• Vérifier qu'une fonction donnée est solution d'une équation différentielle.
• Déterminer les primitives d'une fonction, en reconnaissant la dérivée d'une fonction de référence ou une fonction de la forme $2uu\prime$, ${\mathrm{e}}^{u}u\prime$ ou ${\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$.
  • Exercices
  • Calculs de dérivées et primitives de fonctions de référence
  • Calculs de dérivées (ln et exp) et primitives (exp)
• Résoudre une équation différentielle $y\prime =ay$. Pour une équation différentielle $y\prime =ay+b$ : déterminer une solution particulière constante ; utiliser cette solution pour déterminer la solution générale

Commentaires ou autres

• Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante.
• Résolution de l'équation différentielle $y\prime =ay$.

• Sur des exemples, résolution approchée d'une équation différentielle par la méthode d'Euler.

Contenus

• Définition de l'intégrale d'une fonction continue et positive sur $[a,b]$ comme aire sous la courbe. Notation ${\displaystyle {\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$. Relation de Chasles.
• Valeur moyenne d'une fonction continue sur $[a,b]$. Approche graphique et numérique. La valeur moyenne est comprise entre les bornes de la fonction.
• Approximation d'une intégrale par la méthode des rectangles.
• Présentation de l'intégrale des fonctions continues de signe quelconque.
• Théorème : si $f$ est continue sur $[a,b]$, la fonction $F$ définie sur $[a,b]$ par $F(x)={\displaystyle {\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{x}f(t)\mathrm{d}t}$ est dérivable sur $[a,b]$ et a pour dérivée $f$.
  • Exercices
  • Sens de variation d'une fonction définie par une intégrale
• Calcul d'intégrales à l'aide de primitives : si F est une primitive de ƒ, alors ${\displaystyle {\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{x}f(t)\mathrm{d}t=F(b)-F(a)}$.

Capacités attendues

• Estimer graphiquement ou encadrer une intégrale, une valeur moyenne.
• Calculer une intégrale, une valeur moyenne.
  • Exercices
  • Calcul d'intégrale d'une somme d'une fonction polynôme et d'une fonction du type \(x \longmapsto \frac{k}{x^2}\)
  • Calcul d'intégrale d'une fonction du type \(x \longmapsto (a x +b) e^{k x}\) ou \(x \longmapsto (x^2 + a x +b) e^{k x}\)
  • Calcul d'intégrale d'une fonction du type \(x \longmapsto a ln(x)+b\)
  • Calcul d'intégrale d'une fonction du type \(x \longmapsto (a x +b) e^{k x}\) ou \(x \longmapsto a ln(x)+b\)
  • Calcul d'intégrale d'une fonction rationnelle ou du type \(x \longmapsto (a x +b) e^{k x}\) ou \(x \longmapsto a ln(x)+b\)
  • Calculer une valeur moyenne d'une fonction
• Calculer l'aire sous une courbe ou entre deux courbes.
  • Exercices
  • Aire entre une courbe et l'axe des abscisses
  • Aire entre une droite et une courbe
  • Aire entre deux courbes
  • Aire entre une courbe de fonction exponentielle et une droite
• Interpréter une intégrale, une valeur moyenne dans un contexte issu d'une autre discipline.

Commentaires ou autres

• Dérivée de $x⟼{\displaystyle {\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{x}f(t)\mathrm{d}t}$ lorsque $f$ est une fonction continue positive croissante.

• Méthode des rectangles, des trapèzes
• Méthode de Monte-Carlo pour un calcul d'aire.

Contenus

• Loi uniforme sur $\{1,...,n\}$. Espérance.
• Épreuve de Bernoulli. Loi de Bernoulli : définition, espérance et écart type.
• Schéma de Bernoulli. Représentation par un arbre.
• Coefficients binomiaux : définition (nombre de façons d'obtenir $k$ succès dans un chéma de Bernoulli de taille $n$), triangle de Pascal, symétrie.
• Variable aléatoire suivant une loi binomiale $ℬ(n,p)$. Interprétation : nombre de succès dans le schéma de Bernoulli. Expression, espérance et écart type (admis). Représentation graphique.
• Loi géométrique : définition, expression, espérance (admise), représentation graphique et propriété caractéristique (loi sans mémoire).

Capacités attendues

• Identifier des situations où une variable aléatoire suit une loi de Bernoulli, une loi binomiale ou une loi géométrique.
• Déterminer des coefficients binomiaux à l'aide du triangle de Pascal.
• Dans le cas où $X$ suit une loi binomiale, calculer à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel, les probabilités des événements de type $P(X=k)$ ou $P(X⩽k)$, etc. Calculer explicitement ces probabilités pour une variable aléatoire suivant une loi géométrique.
• Dans le cas où $X$ suit une loi binomiale, déterminer un intervalle $I$ pour lequel la probabilité $P(X\in I)$ est inférieure à une valeur donnée $\alpha$, ou supérieure à $1-\alpha$.
• Dans le cadre de la résolution de problème, utiliser l'espérance des lois précédentes.
• Utiliser en situation la caractérisation d'une loi géométrique par l'absence de mémoire.
• Calculer des probabilités dans des situations faisant intervenir des probabilités conditionnelles, des répétitions d'expériences aléatoires.

Commentaires ou autres

• Espérance et écart type d'une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli.
• Espérance d'une variable aléatoire uniforme sur $\{1,...,n\}$.
• Espérance d'une variable aléatoire suivant une binomiale $(n⩽3)$.
• Caractérisation d'une loi géométrique par l'absence de mémoire.

Contenus

• Notion de loi à densité à partir d'exemples. Représentation d'une probabilité comme une aire. Fonction de répartition $x⟼P(W⩽x)$.
• Espérance et variance d'une loi à densité, expressions sous forme d'intégrales.
• Loi uniforme sur $[0,1]$ puis sur $[a,b]$. Fonction de densité, fonction de répartition. Espérance et variance.
• Loi exponentielle. Fonction densité, fonction de répartition. Espérance, propriété d'absence de mémoire.

Capacités attendues

• Déterminer si une fonction est une densité de probabilité. Calculer des probabilités.
• Calculer l'espérance d'une variable aléatoire à densité.

Commentaires ou autres

• Simulation d'une variable de Bernoulli ou d'un lancer de dé (ou d'une variable uniforme sur un ensemble fini) à partir d'une variable aléatoire de loi uniforme sur $[0,1]$.
• Simulation du comportement de la somme de $n$ variables aléatoires indépendantes et de même loi.

Contenus

• Nuage de points. Point moyen.
• Ajustement affine. Droite des moindres carrés. Coefficient de corrélation.
• Ajustement se ramenant par changement de variable à un ajustement affine.
• Application des ajustements à des interpolations ou extrapolations.

Capacités attendues

• Représenter un nuage de points.
• Calculer les coordonnées d'un point moyen.
• Déterminer une droite de régression, à l'aide de la calculatrice, d'un logiciel ou par calcul.
• Dans le cadre d'une résolution de problème, utiliser un ajustement pour interpoler, extrapoler.

Commentaires ou autres

• Droite des moindres carrés.