Nombres et calculs

Présentation

Au cycle 3, l'étude des grands nombres permet d'enrichir la compréhension de notre système de numération (numération orale et numération écrite) et de mobiliser ses propriétés lors de calculs. Les fractions puis les nombres décimaux apparaissent comme de nouveaux nombres introduits pour pallier l'insuffisance des nombres entiers, notamment pour mesurer des longueurs, des aires et repérer des points sur une demi-droite graduée. Le lien à établir avec les connaissances acquises à propos des entiers est essentiel. Avoir une bonne compréhension des relations entre les différentes unités de numération des entiers (unités, dizaines, centaines de chaque ordre) permet de les prolonger aux dixièmes, centièmes, etc. Les caractéristiques communes entre le système de numération et le système métrique sont mises en évidence. L'écriture à virgule est présentée comme une convention d'écriture d'une fraction décimale ou d'une somme de fractions décimales. Cela permet de mettre à jour la nature des nombres décimaux et de justifier les règles de comparaison (qui se différencient de celles mises en œuvre pour les entiers) et de calcul. Le calcul mental ou en ligne, le calcul posé et le calcul instrumenté sont à construire en interaction. Ainsi, le calcul mental est mobilisé dans le calcul posé et il peut être utilisé pour fournir un ordre de grandeur avant un calcul instrumenté. Réciproquement, le calcul instrumenté peut permettre de vérifier un résultat obtenu par le calcul mental ou par le calcul posé. Le calcul, dans toutes ses modalités, contribue à la connaissance des nombres. Ainsi, même si le calcul mental permet de produire des résultats utiles dans différents contextes de la vie quotidienne, son enseignement vise néanmoins prioritairement l'exploration des nombres et des propriétés des opérations. Il s'agit d'amener les élèves à s'adapter en adoptant la procédure la plus efficace en fonction de leurs connaissances et des nombres en jeu. Pour cela, il est indispensable que les élèves puissent s'appuyer sur suffisamment de faits numériques mémorisés et sur des procédures automatisées de calcul élémentaires. De même, si la maîtrise des techniques opératoires écrites permet à l'élève d'obtenir un résultat de calcul, la construction de ces techniques est l'occasion de retravailler les propriétés de la numération et de rencontrer des exemples d'algorithmes complexes. Les problèmes arithmétiques proposés au cycle 3 permettent d'enrichir le sens des opérations déjà abordées au cycle 2 et d'en étudier de nouvelles. Les procédures de traitement de ces problèmes, adaptées à leur structure, peuvent évoluer en fonction des nombres en jeu. L'organisation des calculs et leur réalisation contribuant aussi à la représentation des problèmes, il s'agit de développer simultanément chez les élèves des aptitudes de calcul et des aptitudes de résolution de problèmes arithmétiques (le travail sur la technique et sur le sens devant se nourrir l'un l'autre).

Sommaire

Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les nombres décimaux

Les nombres entiers
Fractions
Nombres décimaux

Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux

Introduction
Calcul mental
Calcul en ligne
Calcul posé
Calcul instrumenté

Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul

Introduction
Organisation et gestion de données
Problèmes relevant de la proportionnalité

Les nombres entiers

Connaître les unités de la numération décimale pour les nombres entiers (unités simples, dizaines, centaines, milliers, millions, milliards) et les relations qui les lient. Composer, décomposer les grands nombres entiers, en utilisant des regroupements par milliers. Comprendre et appliquer les règles de la numération décimale de position aux grands nombres entiers(jusqu'à 12 chiffres).
Comparer, ranger, encadrer des grands nombres entiers, les repérer et les placer sur une demi-droite graduée adaptée.

CM1

Les élèves apprennent à utiliser et à représenter les grands nombres entiers jusqu'au million. Il s'agit d'abord de consolider les connaissances (écritures, représentations...).

Exercices
Comparaison de nombres entiers
Encadrer un entier par des entiers
Ranger des entiers par ordre croissant ou décroissant

CM2

Le répertoire est étendu jusqu'au milliard.

6^e

En période 1, dans un premier temps,les principes de la numération décimale de position sur les entiers sont repris jusqu'au million, puis au milliard comme en CM, et mobilisés sur les situations les plus variées possibles, notamment en relation avec d'autres disciplines.

Fractions

Connaître diverses désignations des fractions : orales, écrites et décompositions additives et multiplicatives (ex : quatre tiers ; $\frac{4}{3}$ ; $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ ; $1 + \frac{1}{3}$ ; $4 \times \frac{1}{3}$ ).

Connaître et utiliser quelques fractions simples comme opérateur de partage en faisant le lien entre les formulations en langage courant et leur écriture mathématique(ex: faire le lien entre «la moitié de» et multiplier par $\frac{1}{2}$ ).

Utiliser des fractions pour rendre compte de partages de grandeurs ou de mesures de grandeurs.
Repérer et placer des fractions sur une demi-droite graduée adaptée.
Encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs.
Comparer deux fractions de même dénominateur.
Ecrire une fraction sous forme de somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1.

Connaître des égalités entre des fractions usuelles (exemples : $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ ; $\frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ ; $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ).

Utiliser des fractions pour exprimer un quotient.

CM1

Dès la période 1 les élèves utilisent d'abord les fractions simples(comme

\frac{2}{3}

\frac{1}{4}

\frac{5}{2}

) dans le cadre de partage de grandeurs. Ils travaillent des fractions inférieures et des fractions supérieures à 1.
Dès la période 2, les fractions décimales sont régulièrement mobilisées : elles acquièrent le statut de nombre et sont positionnées sur une droite graduée. Les élèves comparent des fractions de même dénominateur. Ils ajoutent des fractions décimales de même dénominateur. Ils apprennent à écrire des fractions décimales sous forme de somme d'un nombre entier et d'une fraction décimale inférieure à 1.

CM2

Dès la période 1,dans la continuité du CM1, les élèves étendent le registre des fractions qu'ils manipulent (en particulier

\frac{1}{1000}

) ; ils apprennent à écrire des fractions sous forme de somme d'un nombre entieret d'une fraction inférieure à 1.

6^e

En période 1, sont réactivées les fractions comme opérateurs de partage vues en CM, puis les fractions décimales en relation avec les nombres décimaux (par exemple à partir de mesures de longueurs) ; les élèves ajoutent des fractions décimales de même dénominateur.
En période 2 l'addition est étendue à des fractions de même dénominateur (inférieur ou égal à 5 et en privilégiant la vocalisation : deux cinquièmes plus un cinquième égale trois cinquièmes).
En période 3, les élèves apprennent que

\frac{a}{b}

est le nombre qui, multiplié par

b

, donne

a

(définition du quotient de

a

par

b

Nombres décimaux

Connaître les unités de la numération décimale (unités simples, dixièmes, centièmes, millièmes) et les relations qui les lient.
Comprendre et appliquer aux nombres décimaux les règles de la numération décimale de position (valeurs des chiffres en fonction de leur rang).
Connaître et utiliser diverses désignations orales et écrites d'un nombre décimal (fractions décimales, écritures à virgule, décompositions additives et multiplicatives).

Utiliser les nombres décimaux pour rendre compte de mesures de grandeurs.
Connaître le lien entre les unités de numération et les unités de mesure (par exemple : dixième dm/dg/dL, centième cm/cg/cL/centimes d'euro).

Repérer et placer un nombre décimal sur une demi-droite graduée adaptée.
Comparer, ranger des nombres décimaux.
Encadrerun nombre décimal par deux nombres entiers, par deux nombres décimaux.

Trouver des nombres décimaux à intercaler entre deux nombres donnés.

Tout au long du cycle, les désignations orale et écrite des nombres décimaux basées sur les unités de numération contribuent à l'acquisition du sens des nombres décimaux (par exemple pour 3,12: «trois unités et douze centièmes» ou «trois unités, un dixième et deux centièmes» ou «trois cent douze centièmes»).

CM1

À partir de la période 2, les élèves apprennent à utiliser les nombres décimaux ayant au plus deux décimales en veillant à mettre en relation fractions décimales et écritures à virgule(ex:

3, 12 = 3 + \frac{12}{100}

.
Ils connaissent des écritures décimales de fractions simples (

\frac{1}{2} = 0, 5 = \frac{5}{10}

;

\frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0, 25

; la moitié d'un entier sur des petits nombres).

CM2

Dès la période 1, les élèves rencontrent et utilisent des nombres décimaux ayant une, deux ou trois décimales.Ils connaissent des écritures décimales de fractions simples (

\frac{1}{5} = 0, 2 = \frac{2}{10}

;

\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0, 75

; la moitié d'un entier).

6^e

Dès la période 1, dans le prolongement des acquis du CM, on travaille sur les décimaux jusqu'à trois décimales. La quatrième décimale sera introduite en période 2 au travers des diverses activités.

Exercices
Comparaison de nombres décimaux
Reconnaître le rangement croissant ou décroissant de trois décimaux
Ranger des décimaux par ordre croissant ou décroissant
Ranger des décimaux par ordre croissant ou décroissant (2)
Encadrer un décimal par des entiers
Encadrer un décimal

Introduction

Mobiliser les faits numériques mémorisés au cycle 2, notamment les tables de multiplication jusqu'à 9.
Connaître les multiplesde 25 et de 50, les diviseurs de 100.

Calcul mental ou en ligne
Connaître des procédures élémentaires de calcul, notamment :

multiplier ou diviser un nombre décimal par 10, par 100, par 1000 ;
rechercher le complément à l'entier supérieur ;
multiplier par 5, par 25, par 50, par 0,1, par 0,5.

Connaître des propriétés de l'addition, de la soustraction et de la multiplication, et notamment

$12 + 199 = 199 + 12$
5 x 21 = 21 x 5
27,9 + 1,2 + 0,8 = 27,9 + 2 - 3,2 × 25 × 4 = 3,2 × 100 – 45 × 21 = 45 × 20 + 45
6 × 18 = 6 × 20 – 6 × 2
23 × 7 + 23 × 3 = 23 × 10.

Connaître les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10.
Utiliser ces propriétés et procédures pour élaborer et mettre en œuvre des stratégies de calcul.
Vérifier la vraisemblance d'un résultat, notamment en estimant un ordre de grandeur.

Dans un calcul en ligne, utiliser des parenthèses pour indiquer ou respecter une chronologie dans les calculs.

Tout au long du cycle, la pratique régulière du calcul confronte et consolide la mémorisation des tables de multiplications jusqu'à 9 dont la maîtrise est attendu en fin de cycle 2.

CM1

CM2

6^e

Calcul mental

CM1

Dans la continuité du travail conduit au cycle 2, les élèves mémorisent les quatre premiers multiples de 25 et de 50.
À partir de la période 3, ils apprennent à multiplier et à diviser par 10 des nombres décimaux ; ils apprennent à rechercher le complément au nombre entier supérieur.
Tout au long de l'année, ils stabilisent leur connaissance des propriétés des opérations (ex :12+199=199+12 ; 5×21=21×5 ; 45×21=45×20+45×1 ; 6×18=6×20-6×2).
À partir de la période 3, ils apprennent les critères de divisibilité par 2, 5 et 10.
En période 4 ou 5, ils apprennent à multiplier par 1000 un nombre décimal.

CM2

Dès le début de l'année, les élèves apprennent à diviser un nombre décimal (entier ou non) par 100.
En période 3 les élèves apprennent à multiplier un nombre décimal (entier ou non) par 5 et par 50.
Au plus tard en période 4, ils apprennent les critères de divisibilité par 3 et par 9.
Tout au long de l'année, ils étendent l'utilisation des principales propriétés des opérations à des calculs rendus plus complexes par la nature des nombres en jeu, leur taille ou leur nombre (exemples: 1,2+27,9+0,8=27,9+2 ; 3,2×25×4=3,2×100).
Ils étendent l'utilisation des principales propriétés des opérations (notamment la commutativité de la multiplication) àdes calculs rendus plus complexes par la nature des nombres en jeu, leur taille, ou leur nombre (exemple : 1,2+27,9+0,8=27,9+2 ; 3,2×10=10×3,2 ; 3,2×25×4=3,2×100).

6^e

Dès la période 1, dans le prolongement des acquis du CM, on réactive la multiplication et la division par 10, 100, 1000.
À partir de la période 2, les élèves apprennent à multiplier un nombre entier puis décimal par 0,1 et par 0,5 (différentes stratégies sont envisagées selon les situations).
Tout au long de l'année, ils stabilisent la connaissance des propriétés des opérations et les procédures déjà utilisées à l'école élémentaire, et utilisent la propriété de distributivité simple dans les deux sens (par exemple : 23×12=23×10+23×2 et 23×7+23×3=23×10).

Calcul en ligne

CM1

Les connaissances et compétences mises en œuvre pour le calcul en ligne sont les mêmes que pour le calcul mental, le support de l'écrit permettant d'alléger la mémoire de travail et ainsi de traiter des calculs portant sur un registre numérique étendu.

CM2

6^e

Dans des calculs simples, confrontés à des problématiques de priorités opératoires, par exemple en relation avec l'utilisation de calculatrices, les élèves utilisent des parenthèses.

Calcul posé

Connaître et mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour effectuer :

l'addition, la soustraction et la multiplication de nombres entiers ou décimaux ;
la division euclidienned'un entier par un entier ;
la division d'un nombre décimal (entier ou non) par un nombre entier.

CM1

Dès la période 1, les élèves renforcent leur maîtrise des algorithmes apprisau cycle 2 (addition, soustraction et multiplication de deux nombres entiers)
En période 2, ils étendent aux nombres décimaux les algorithmes de l'addition et de la soustraction.
En période 3 ils apprennentl'algorithme de la division euclidienne de deux nombres entiers.

CM2

Les élèves apprennent les algorithmes:

de la multiplication d'un nombre décimal par un nombre entier (dès la période 1, en relation avec le calcul de l'aire du rectangle) ;
de la division de deux nombres entiers (quotient décimal ou non: par exemple, 10:4 ou 10:3), dès la période 2 ;
de la division d'un nombre décimal par un nombre entier dès la période 3.

6^e

Tout au long de l'année, au travers de situations variées, les élèves entretiennent leurs acquis de CM sur les algorithmes opératoires.
Au plus tard en période 3, ils apprennent l'algorithme de la multiplication de deux nombres décimaux.

Calcul instrumenté

Utiliser une calculatrice pour trouver ou vérifier un résultat.

CM1

CM2

6^e

Introduction

Résoudre des problèmes mettant en jeu les quatre opérations :

sens des opérations ;
problèmes à une ou plusieurs étapes relevant des structures additive et/ou multiplicative.

Dès le début du cycle, les problèmes proposés relèvent des quatre opérations.
La progressivité sur la résolution de problèmes combine notamment :

les nombres mis en jeu : entiers (tout au long du cycle) puis décimaux dès le CM1 sur des nombres très simples ;
le nombre d'étapes que l'élève doit mettre en œuvre pour leur résolution ;
les supports proposés pour la prise d'informations : texte, tableau, représentations graphiques.

La communication de la démarche prend différentes formes : langage naturel, schémas, opérations.

CM1

CM2

6^e

Organisation et gestion de données

Prélever des données numériques à partir de supports variés. Produire des tableaux, diagrammes et graphiques organisant des données numériques.
Exploiter et communiquer des résultats de mesures.
Lire ou construire des représentations de données :

tableaux (en deux ou plusieurs colonnes, à double entrée) ;
diagrammes en bâtons, circulairesou semi-circulaires ;
graphiques cartésiens.

Organiser des données issues d'autres enseignements (sciences et technologie, histoire et géographie, éducation physique et sportive, etc.) en vue de les traiter.

CM1

CM2

6^e

Problèmes relevant de la proportionnalité

Reconnaître et résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité en utilisant une procédure adaptée : propriétés de linéarité (additive et multiplicative), passage à l'unité, coefficient de proportionnalité. Appliquer un pourcentage.

CM1

Le recours aux propriétés de linéarité (multiplicative et additive) est privilégié. Ces propriétés doivent être explicitées ; elles peuvent être institutionnalisées de façon non formelle à l'aide d'exemples verbalisés («Si j'ai deux fois, trois fois... plus d'invités, il me faudra deux fois, trois fois... plus d'ingrédients» ; «Je dispose de briques de masses identiques. Si je connais la masse de 7 briques et celle de 3 briques alors je peux connaître la masse de 10 briques en faisant la somme des deux masses»). Dès la période 1, des situations de proportionnalité peuvent être proposées (recettes...). L'institutionnalisation des propriétés se fait progressivement à partir de la période 2.

CM2

Dès la période 1, le passage par l'unité vient enrichir la palette des procédures utilisées lorsque cela s'avère pertinent.
À partir de la période 3, le symbole % est introduit dans des cas simples, en lien avec les fractions d'une quantité (50 % pour la moitié ; 25 % pour le quart ; 75 % pour les trois quarts ; 10 % pour le dixième).

6^e

Tout au long de l'année, les procédures déjà étudiées en CM sont remobilisées et enrichies par l'utilisation explicite du coefficient de proportionnalité lorsque cela s'avère pertinent.
Dès la période 2, en relation avec le travail effectué en CM, les élèves appliquent un pourcentage simple (en relation avec les fractions simples de quantité: 10 %, 25 %, 50 %, 75 %).
Dès la période 3, ils apprennent à appliquer un pourcentage dans des registres variés.

Grandeurs et mesures

Présentation

Au cycle 3, les connaissances des grandeurs déjà rencontrées au cycle 2 (longueur, masse, contenance, durée, prix) sont complétées et structurées, en particulier à travers la maîtrise des unités légales du Système International d'unités (numération décimale ou sexagésimale, pour les durées) et de leurs relations. Un des enjeux est d'enrichir le concept de grandeur notamment en abordant la notion d'aire d'une surface ainsi que celle de périmètre, en les distinguant clairement. Les élèves approchent la notion d'angle. Ils se familiarisent avec la notion de volume, en lien avec celle de contenance. Mesurer une grandeur consiste à déterminer, après avoir choisi une unité, combien d'unités ou de fractionnements de cette unité sont contenus dans cette grandeur, pour lui associer un nombre (entier ou non). Les opérations sur les grandeurs permettent de donner du sens aux opérations sur leurs mesures (par exemple, la somme 30 cm + 15 cm peut être mise en relation avec la longueur de deux bâtons de 30 cm et 15 cm, mis bout à bout). Les notions de grandeur et de mesure de la grandeur se construisent dialectiquement, en résolvant des problèmes faisant appel à différents types de tâches (comparer, estimer, mesurer). Dans le cadre des grandeurs, la proportionnalité sera mise en évidence et convoquée pour résoudre des problèmes dans différents contextes. Dans la continuité du cycle 2, le travail sur l'estimation participe à la validation de résultats et permet de donner un sens concret aux grandeurs étudiées et à leur mesure (estimer en prenant appui sur des références déjà construites : longueurs et aire d'un terrain de basket, aire d'un timbre-poste, masse d'un trombone, masse et volume d'une bouteille de lait, etc.).

Sommaire

Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres décimaux : longueur (périmètre), aire, volume, angle ;
Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques de ces grandeurs
Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres décimaux

Les longueurs et les périmètres
Les aires
Les contenances et les volumes
Les angles

Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs (géométriques, physiques, économiques) en utilisant des nombres entiers et des nombres décimaux

Introduction
Les durées
Proportionnalité

Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres décimaux : longueur (périmètre), aire, volume, angle ;
Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques de ces grandeurs

L'étude d'une grandeur nécessite des activités ayant pour but de définir la grandeur (comparaison directe ou indirecte, ou recours à la mesure), d'explorer les unités du système international d'unités correspondant, de faire usage des instruments de mesure de cette grandeur, de calculer des mesures avec ou sans formule. Toutefois, selon la grandeur ou selon la fréquentation de celle-ci au cours du cycle précédent, les comparaisons directes ou indirectes de grandeurs (longueur, masse et durée) ne seront pas reprises systématiquement. Tout au long du cycle et en relation avec l'apprentissage des nombres décimaux, les élèves font le lien entre les unités de numération et les unités de mesure (par exemple: dixième

dm, dg, dl ; centième

cm, cg, cl, centimes d'euros).

CM1

Exercices
Convertir des longueurs

CM2

6^e

Les longueurs et les périmètres

Comparer des périmètres avec ou sans recours à la mesure (par exemple en utilisant une ficelle, ou en reportant les longueurs des côtés d'un polygone sur un segment de droite avec un compas) :

notion de longueur : cas particulier du périmètre ;
unités relatives aux longueurs : relations entre les unités de longueur et les unités de numération.

Calculer le périmètre d'un polygone en ajoutant les longueurs de ses côtés.
Calculer le périmètre d'un carré et d'un rectangle, la longueur d'un cercle, en utilisant une formule :

formule du périmètre d'un carré, d'un rectangle ;
formule de la longueur d'un cercle.

CM1

Les élèves comparent des périmètres sans avoir recours à la mesure, mesurent des périmètres par report d'unités et de fractions d'unités ou par report des longueurs des côtés sur un segment de droite avec le compas ; ils calculent le périmètre d'un polygone en ajoutant les longueurs de ses côtés (avec des entiers et fractions puis avec des décimaux à deux décimales).

CM2

Ils établissent les formules du périmètre du carré et du rectangle. Ils les utilisent tout en continuant à calculer des périmètres de polygones variés en ajoutant les longueurs de leurs côtés.

6^e

Exercices
Milieu d'un segment

Selon l'avancement du thème «nombres et calcul», les élèves réinvestissent leurs acquis de CM pour calculer des périmètres simples ou complexes. Ils apprennent la formule de la longueur d'un cercleet l'utilisent après consolidation du produit d'un entier par un décimal, dans un premier temps, puis du produit de deux décimaux.

Les aires

Comparer des surfaces selon leurs aires sans avoir recours à la mesure, par superposition ou par découpage et recollement.
Différencier périmètre et aire d'une figure.
Estimer la mesure d'une aire et l'exprimer dans une unité adaptée.
Déterminer la mesure de l'aire d'une surface à partir d'un pavage simple ou en utilisant une formule :

unités usuelles d'aire et leurs relations : multiples et sous-multiples du $m^{2}$ ;
formules de l'aire d'un carré, d'un rectangle, l'aire d'un triangle, d'un disque.

CM1

Les élèves comparent des surfaces selon leur aire par estimation visuelle, par superposition ou découpage et recollement. Ils estiment des aires, ou les déterminent, en faisant appel à une aire de référence.
Le lien est fait chaque fois que possible avec le travail sur les fractions.

CM2

L'utilisation d'une unité de référence est systématique. Cette unité peut être une maille d'un réseau quadrillé adapté, le

{cm}^{2}

, le

{dm}^{2}

ou le

m^{2}

.
Les élèves apprennent à utiliser les formules d'aire du carré, du rectangle et du triangle rectangle.

6^e

En relation avec le travail sur la quatrième décimale, les élèves utilisent les multiples et sous-multiples du

m^{2}

et les relations qui les lient. Ils utilisent la formule pour calculer l'aire d'un trianglequelconque lorsque les données sont exprimées avec des nombres entiers.
Après avoir consolidé le produit de décimaux, ils utilisent les formules pour calculer l'aire d'un triangle quelconque et celle d'un disque.

Les contenances et les volumes

Relier les unités de volume et de contenance.
Estimer la mesure d'un volume ou d'une contenance par différentes procédures (transvasements, appréciation de l'ordre de grandeur) et l'exprimer dans une unité adaptée.
Déterminer le volume d'un pavé droit en se rapportant à un dénombrement d'unités (cubes de taille adaptée) ou en utilisant une formule :

unités usuelles de contenance (multiples et sous multiples du litre) ;
unités usuelles de volume ( ${cm}^{3}$ , ${dm}^{3}$ , $m^{3}$ ), relations entre ces unités ;
formules du volume d'un cube, d'un pavé droit.

CM1

Les élèves comparent des contenances sans les mesurer, puis en les mesurant. Ils découvrent et apprennent qu'un litre est la contenance d'un cube de 10 cm d'arête. Ils font des analogies avec les autres unités de mesure à l'appui des préfixes.

CM2

Ils poursuivent ce travail en utilisant de nouvelles unités de contenance : dl, cl et ml.

6^e

Ils relient les unités de volume et de contenance (1 l =1

{dm}^{3}

; 1 000 l =1

m^{3}

). Ils utilisent les unités de volume :

{cm}^{3}

{dm}^{3}

m^{3}

et leurs relations.
Ils calculent le volume d'un cubeou d'un pavé droiten utilisant une formule.

Les angles

Identifier des angles dans une figure géométrique.
Comparer des angles, en ayant ou non recours à leur mesure (par superposition, avec un calque).
Reproduire un angle donné en utilisant un gabarit.
Estimer qu'un angle est droit, aigu ou obtus.
Utiliser l'équerre pour vérifier qu'un angle est droit, aigu ou obtus, ou pour construire un angle droit.
Utiliser le rapporteur pour :

déterminer la mesure en degré d'un angle ;
construire un angle de mesure donnée en degrés.

Notion d'angle.

Lexique associé aux angles : angle droit, aigu, obtus.
Mesure en degré d'un angle.

CM1

Dès le CM1, les élèves apprennent à repérer les angles d'une figure plane, puis à comparer ces angles par superposition (utilisation du papier calque) ou en utilisant un gabarit. Ils estiment, puis vérifient en utilisant l'équerre, qu'un angle est droit, aigu ou obtus.

CM2

6^e

Avant d'utiliser le rapporteur, les élèves poursuivent le travail entrepris au CM en attribuant des mesures en degrés à des multiples ou sous-multiples de l'angle droit de mesure 90° (par exemple, on pourra considérer que la diagonale d'un carré partage l'angle droit en deux angles égaux de 45°).
Les élèves apprennent à utiliser un rapporteur pour mesurer un angle en degrés ou construire un angle de mesure donnée en degrés.

Introduction

Résoudre des problèmes de comparaison avec et sans recours à la mesure.
Résoudre des problèmes dont la résolution mobilise simultanément des unités différentes de mesure et/ou des conversions.

Calculer des périmètres, des aires ou des volumes, en mobilisant ou non, selon les cas, des formules.

Formules donnant :
- le périmètre d'un carré, d'un rectangle, la longueur d'un cercle ;
- l'aire d'un carré, d'un rectangle, d'un triangle, d'un disque ;
- le volume d'un cube, d'un pavé droit.

CM1

CM2

6^e

Les durées

Calculer la durée écoulée entre deux instants donnés.
Déterminer un instant à partir de la connaissance d'un instant et d'une durée.
Connaître et utiliser les unités de mesure des durées et leurs relations :

unités de mesures usuelles : jour, semaine, heure, minute, seconde, dixième de seconde, mois, année, siècle, millénaire.

Résoudre des problèmes en exploitant des ressources variées (horaires de transport, horaires de marées, programmes de cinéma ou de télévision, etc.).

CM1

Tout au long de l'année, les élèves consolident la lecture de l'heure et l'utilisation des unités de mesure des durées et de leurs relations ; des conversions peuvent être nécessaires (siècle/années ; semaine/jours ; heure/minutes ; minute/secondes).
Ils les réinvestissent dans la résolution de problèmes de deux types : calcul d'une durée connaissant deux instants et calcul d'un instant connaissant un instant et une durée.

CM2

Tout au long de l'année, les élèves poursuivent le travail d'appropriation des relations entre les unités de mesure des durées.
Des conversions nécessitant l'interprétation d'un reste peuvent être demandées (transformer des heures en jours, avec un reste en heures ou des secondes en minutes, avec un reste en secondes).

6^e

Selon les situations, les élèves utilisent leurs acquis de CM sur les durées.
Des conversions nécessitant deux étapes de traitement peuvent être demandées (transformer des heures en semaines, jours et heures ; transformer des secondes en heures, minutes et secondes).

Proportionnalité

Identifier une situation de proportionnalité entre deux grandeurs à partir du sens de la situation. Résoudre un problème de proportionnalité impliquant des grandeurs.

CM1

Les élèves commencent à identifier et à résoudre des problèmes de proportionnalité portant sur des grandeurs.

CM2

Des situations très simples impliquant des échelles et des vitesses constantes peuvent être rencontrées.

6^e

Sur des situations très simples en relation avec l'utilisation d'un rapporteur, les élèves construisent des représentations de données sous la forme de diagrammes circulaires ou semi-circulaires.

Espace et géométrie

Présentation

À l'articulation de l'école primaire et du collège, le cycle 3 constitue une étape importante dans l'approche des concepts géométriques. Prolongeant le travail amorcé au cycle 2, les activités permettent aux élèves de passer progressivement d'une géométrie où les objets (le carré, la droite, le cube, etc.) et leurs propriétés sont essentiellement contrôlés par la perception à une géométrie où le recours à des instruments devient déterminant, pour aller ensuite vers une géométrie dont la validation s'appuie sur le raisonnement et l'argumentation. Différentes caractérisations d'un même objet ou d'une même notion s'enrichissant mutuellement permettent aux élèves de passer du regard ordinaire porté sur un dessin au regard géométrique porté sur une figure. Les situations faisant appel à différents types de tâches (reconnaître, nommer, comparer, vérifier, décrire, reproduire, représenter, construire) portant sur des objets géométriques, sont privilégiées afin de faire émerger des concepts géométriques (caractérisations et propriétés des objets, relations entre les objets) et de les enrichir. Un jeu sur les contraintes de la situation, sur les supports et les instruments mis à disposition des élèves, permet une évolution des procédures de traitement des problèmes et un enrichissement des connaissances. Les professeurs veillent à utiliser un langage précis et adapté pour décrire les actions et les gestes réalisés par les élèves (pliages, tracés à main levée ou avec utilisation de gabarits et d'instruments usuels ou lors de l'utilisation de logiciels). Ceux-ci sont progressivement encouragés à utiliser ce langage. Les activités spatiales et géométriques sont à mettre en lien avec les deux autres thèmes : résoudre dans un autre cadre des problèmes relevant de la proportionnalité ; utiliser en situation les grandeurs (géométriques) et leur mesure. Par ailleurs, elles constituent des moments privilégiés pour une première initiation à la programmation notamment à travers la programmation de déplacements ou de construction de figures. Il est possible, lors de la résolution de problèmes, d'aller avec certains élèves ou toute la classe au-de là des repères de progression identifiés pour chaque niveau.

Sommaire

(Se) repérer et (se) déplacer dans l'espace en utilisant ou en élaborant des représentations

Introduction
Les apprentissages spatiaux
Initiation à la programmation

Reconnaître, nommer, décrire, reproduire, représenter, construire quelques solides et figures géométriques

Introduction
Les apprentissages géométriques
Le raisonnement

Reconnaître et utiliser quelques relations géométriques

Introduction
Le vocabulaire et les notations
Les instruments
La symétrie axiale
La proportionnalité

Introduction

Se repérer, décrire ou exécuter des déplacements, sur un plan ou sur une carte (école, quartier, ville, village)
Accomplir, décrire, coder des déplacements dans des espaces familiers.
Programmer les déplacements d'un robot ou ceux d'un personnage sur un écran en utilisant un logiciel de programmation.

vocabulaire permettant de définir des positions et des déplacements (tourner à gauche, à droite ; faire demi-tour, effectuer un quart de tour à droite, à gauche) ;
divers modes de représentation de l'espace : maquettes, plans, schémas.

CM1

CM2

6^e

Exercices
Sélectionner l'hypoténuse d'un triangle rectangle

Les apprentissages spatiaux

Dans la continuité du cycle 2 et tout au long du cycle, les apprentissages spatiaux, en une, deux ou trois dimensions, se réalisent à partir de problèmes de repérage de déplacement d'objets, d'élaboration de représentation dans des espaces réels, matérialisés (plans, cartes...) ou numériques.

CM1

CM2

6^e

Initiation à la programmation

CM1

Au CM1 puis au CM2, les élèves apprennent à programmer le déplacement d'un personnage sur un écran.
Ils commencent par compléter de tels programmes, puis ils apprennent à corriger un programme erroné. Enfin, ils créent eux-mêmes des programmes permettant d'obtenir des déplacements d'objets ou de personnages.
Les instructions correspondent à des déplacements absolus (liés à l'environnement : «aller vers l'ouest», «aller vers la fenêtre») ou relatifs (liés au personnage : «tourner d'un quart de tour à gauche»).

CM2

6^e

La construction de figures géométriques de simples à plus complexes, permet d'amener les élèves vers la répétition d'instructions.
Ils peuvent commencer à programmer, seuls ou en équipe, des saynètes impliquant un ou plusieurs personnages interagissant ou se déplaçant simultanément ou successivement.

Introduction

Reconnaître, nommer, décrire des figures simples ou complexes (assemblages de figures simples) :

triangles, dont les triangles particuliers (triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral) ;
quadrilatères, dont les quadrilatères particuliers (carré, rectangle, losange, première approche du parallélogramme) ;
cercle (comme ensemble des points situés à une distance donnée d'un point donné), disque.

Reconnaître, nommer, décrire des solides simples ou des assemblages de solides simples : cube, pavé droit, prisme droit, pyramide, cylindre, cône, boule :

vocabulaire associé à ces objets et à leurs propriétés : côté, sommet, angle, diagonale, polygone, centre, rayon, diamètre, milieu, hauteur solide, face, arête.

Reproduire, représenter, construire :

des figures simples ou complexes (assemblages de figures simples) ;
des solides simples ou des assemblages de solides simples sous forme de maquettes ou de dessins ou à partir d'un patron (donné, dans le cas d'un prisme ou d'une pyramide, ou à construire dans le cas d'un pavé droit).

Réaliser, compléter et rédiger un programme de construction d'une figure plane.
Réaliser une figure plane simple ou une figure composée de figures simples à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.

CM1

CM2

6^e

Les apprentissages géométriques

CM1

Les élèves tracent avec l'équerre la droite perpendiculaire à une droite donnée en un point donné de cette droite.
Ils tracent un carré ou un rectangle de dimensions données.
Ils tracent un cercle de centre et de rayon donnés, un triangle rectangle de dimensions données.
Ils apprennent à reconnaître et à nommer une boule, un cylindre, un cône, un cube, un pavé droit, un prisme droit, une pyramide.
Ils apprennent à construire un patron d'un cube de dimension donnée.

CM2

Les élèves apprennent à reconnaître et nommer un triangle isocèle, un triangle équilatéral, un losange, ainsi qu'à les décrire à partir des propriétés de leurs côtés.
Ils tracent avec l'équerre la droite perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné qui peut être extérieur à la droite.
Ils tracent la droite parallèle à une droite donnée passant par un point donné.
Ils apprennent à construire, pour un cube de dimension donnée, des patrons différents.
Ils apprennent à reconnaître, parmi un ensemble de patrons et de faux patrons donnés, ceux qui correspondent à un solide donné: cube, pavé droit, pyramide.

6^e

Les élèves sont confrontés à la nécessité de représenter une figure à main levée avant d'en faire un tracé instrumenté. C'est l'occasion d'instaurer le codage de la figure à main levée (au fur et à mesure, égalités de longueurs, perpendicularité, égalité d'angles).
Les figures étudiées sont de plus en plus complexes et les élèves les construisent à partir d'un programme de construction.

Exercices
Programme de construction de droites perpendiculaires (1)
Programme de construction de droites perpendiculaires (2)
Programme de construction d'une hauteur d'un triangle
Programme de construction de droites sécantes

Ils utilisent selon les cas les figures à main levée, les constructions aux instruments et l'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique.
Ils définissent et différencient le cercle et le disque.
Ils réalisent des patrons de pavés droits. Ils travaillent sur des assemblages de solides simples.

Le raisonnement

La dimension perceptive, l'usage des instruments et les propriétés élémentaires des figures sont articulés tout au long du cycle.

CM1

Le raisonnement peut prendre appui sur différents types de codage :

signe ajouté aux traits constituant la figure (signe de l'angle droit, mesure, coloriage...) ;
qualité particulière du trait lui-même (couleur, épaisseur, pointillés, trait à main levée...) ;
élément de la figure qui traduit une propriété implicite (appartenance ou non appartenance, égalité...) ;
nature du support de la figure (quadrillage, papier à réseau pointé, papier millimétré).

Un vocabulaire spécifique est employé dès le début du cycle pour désigner des objets, des relations et des propriétés.

CM2

Le raisonnement peut prendre appui sur différents types de codage :

signe ajouté aux traits constituant la figure (signe de l'angle droit, mesure, coloriage...) ;
qualité particulière du trait lui-même (couleur, épaisseur, pointillés, trait à main levée...) ;
élément de la figure qui traduit une propriété implicite (appartenance ou non appartenance, égalité...) ;
nature du support de la figure (quadrillage, papier à réseau pointé, papier millimétré).

Il s'agit de conduire sans formalisme des raisonnements simples utilisant les propriétés des figures usuelles ou de la symétrie axiale.

6^e

Tout le long de l'année se poursuit le travail entrepris au CM2 visant à faire évoluer la perception qu'ont les élèves des activités géométriques (passer de l'observation et du mesurage au codage et au raisonnement).

Exercices
Appartenance

On s'appuie sur l'utilisation des codages.
Les élèves utilisent les propriétés relatives aux droites parallèles ou perpendiculaires pour valider la méthode de construction d'une parallèle à la règle et à l'équerre, et établir des relations de perpendicularité ou de parallélisme entre deux droites.

Exercices
Parallèles - Perpendiculaires
Parallèles - Perpendiculaires (2)

Ils complètent leurs acquis sur les propriétés des côtés des figures par celles sur les diagonales et les angles.
Dès que l'étude de la symétrie est suffisamment avancée, ils utilisent les propriétés de conservation de longueur, d'angle, d'aire et de parallélisme pour justifier une procédure de la construction de la figure symétrique ou pour répondre à des problèmes de longueur, d'angle, d'aire ou de parallélisme sans recours à une vérification instrumentée.

Introduction

Relations de perpendicularité et de parallélisme

tracer avec l'équerre la droite perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné ;
tracer avec la règle et l'équerre la droite parallèle à une droite donnée passant par un point donné ;
déterminer le plus court chemin entre un point et une droite.

Alignement, appartenance.
Perpendicularité, parallélisme.
Segment de droite.
Distance entre deux points, entre un point et une droite.

CM1

CM2

6^e

Le vocabulaire et les notations

Tout au long du cycle, les notations

(AB)

[AB

[AB]

AB

, sont toujours précédées du nom de l'objet qu'elles désignent : droite

(AB)

, demi-droite

[AB

), segment

[AB]

, longueur

AB

. Les élèves apprennent à utiliser le symbole d'appartenance (

\in

) d'un point à une droite, une demi-droite ou un segment.
Le vocabulaire et les notations nouvelles (

\in

(AB)

[AB

[AB]

AB

\hat{AOB}

) sont introduits au fur et à mesure de leur utilité, et non au départ d'un apprentissage.

CM1

Le vocabulaire utilisé est le même qu'en fin de cycle 2 : côté, sommet, angle, angle droit, face, arête, milieu, droite, segment.

Exercices
Point
Nom - Point
Point - Segment
Point - Droite

Les élèves commencent à rencontrer la notation «segment [AB]» pour désigner le segment d'extrémités A et B mais cette notation n'est pas exigible ; pour les droites, on parle de la droite «qui passe par les points A et B», ou de «la droite d».

CM2

Les élèves commencent à rencontrer la notation «droite

(AB)

», et nomment les angles par leur sommet : par exemple, «l'angle

\hat{A}

6^e

Les élèves utilisent la notation

AB

pour désigner la longueur d'un segment qu'ils différencient de la notation du segment

[AB]

.
Dès que l'on utilise les objets concernés, les élèves utilisent aussi la notation «angle

\hat{ABC}

», ainsi que la notation courante pour les demi-droites.

Exercices
Représentation - Droite
Notation - Droite
Notation - Droite (2)
Notation - Segment
Notation - Droite, demi-droite, segment

Les élèves apprennent à rédiger un programme de construction en utilisant le vocabulaire et les notations appropriés pour des figures simples au départ puis pour des figures plus complexes au fil des périodes suivantes.

Les instruments

CM1

Tout au long de l'année, les élèves utilisent la règle graduée ou non graduée ainsi que des bandes de papier à bord droit pour reporter des longueurs.
Ils utilisent l'équerre pour repérer ou construire un angle droit.
Ils utilisent aussi d'autres gabarits d'angle ainsi que du papier calque.
Ils utilisent le compas pour tracer un cercle, connaissant son centre et un point du cercle ou son centre et la longueur d'un rayon, ou bien pour reporter une longueur.

CM2

Le travail sur les angles se poursuit, notamment sur des fractions simples de l'angle droit (ex : un «demi angle droit», «un tiers d'angle droit», «l'angle plat comme la somme de deux angles droits»).
Les élèves doivent comprendre que la mesure d'un angle («l'ouverture» formée par les deux demi-droites) ne change pas lorsque l'on prolonge ces demi-droites.

6^e

Les élèves se servent des instruments (règle, équerre, compas) pour reproduire des figures simples, notamment un triangle de dimensions données. Cette utilisation est souvent combinée à des tracés préalables codés à main levée.
Ils utilisent le rapporteur pour mesurer et construire des angles.
Dès que le cercle a été défini, puis que la propriété caractéristique de la médiatrice d'un segmentest connue, les élèves peuvent enrichir leurs procédures de construction à la règle et au compas.

La symétrie axiale

Compléter une figure par symétrie axiale.
Construire le symétrique d'un point, d'un segment, d'une droite par rapport à un axe donné.
Construire la figure symétrique d'une figure donnée par rapport à un axe donné :

figure symétrique, axe de symétrie d'une figure, figures symétriques par rapport à un axe ;
propriétés de conservation de la symétrie axiale ;
médiatrice d'un segment :
- définition : droite perpendiculaire au segment en son milieu ;
- caractérisation : ensemble des points équidistants des extrémités du segment.

Reconnaître si une figure présente un axe de symétrie : on conjecture visuellement l'axe à trouver et on valide cette conjecture en utilisant du papier calque, des découpages, des pliages.
Compléter une figure pour qu'elle devienne symétrique par rapport à un axe donné.

Symétrie axiale.
Figure symétrique, axe de symétrie d'une figure, figures symétriques par rapport à un axe.
Propriétés conservées par symétrie axiale.

CM1

Les élèves reconnaissent qu'une figure admet un (ou plusieurs) axe de symétrie, visuellement et/ou par pliage ou en utilisant du papier calque. Ils complètent une figure par symétrie ou construisent le symétrique d'une figure donnée par rapport à un axe donné, par pliage et piquage ou en utilisant du papier calque.

CM2

Ils observent que deux points sont symétriques par rapport à une droite donnée lorsque le segment qui les joint coupe cette droite perpendiculairement en son milieu.
Ils construisent, à l'équerre et à la règle graduée, le symétrique d'un point, d'un segment, d'une figure par rapport à une droite.

6^e

Les élèves consolident leurs acquis du CM sur la symétrie axialeet font émerger l'image mentale de la médiatrice d'une part et certaines conservations par symétrie d'autre part.
Ils donnent du sens aux procédures utilisées en CM2 pour la construction de symétriques à la règle et à l'équerre. À cette occasion :

la médiatrice d'un segmentest définie et les élèves apprennent à la construire à la règle et à l'équerre ;
ils étudient les propriétés de conservation de la symétrie axiale.

En lien avec les propriétés de la symétrie axiale, ils connaissent la propriété caractéristique de la médiatrice d'un segment et l'utilisent à la fois pour tracer à la règle non graduée et au compas :

la médiatrice d'un segment donné ;
la figure symétrique d'une figure donnée par rapport à une droite donnée.

La proportionnalité

Reproduire une figure en respectant une échelle donnée :

agrandissement ou réduction d'une figure.

CM1

CM2

Les élèves agrandissent ou réduisent une figure dans un rapport simple donné (par exemple

\times \frac{1}{2}

\times 2

\times 3

6^e

Les élèves agrandissent ou réduisent une figure dans un rapport plus complexe qu'au CM2 (par exemple

\frac{3}{2}

\frac{3}{4}

) ; ils reproduisent une figure à une échelle donnée et complètent un agrandissement ou une réduction d'une figure donnée à partir de la connaissance d'une des mesures agrandie ou réduite.

Croisements entre enseignements

CM1

CM2

6^e

L'utilisation des grands nombres entiers et des nombres décimaux permet d'appréhender et d'estimer des mesures de grandeur : approche de la mesure non entière de grandeurs continues, estimation de grandes distances, de populations, de durées, de périodes de l'histoire, de superficies, de prix, de mémoire informatique, etc. Les élèves apprennent progressivement à résoudre des problèmes portant sur des contextes et des données issus des autres disciplines. En effet, les supports de prises d'informations variés (textes, tableaux, graphiques, plans) permettent de travailler avec des données réelles issues de différentes disciplines (histoire et géographie, sciences et technologie, éducation physique et sportive, arts plastiques). De plus, la lecture des données, les échanges oraux pour expliquer les démarches, et la production de réponses sous forme textuelle contribuent à travailler plusieurs composantes de la maîtrise de la langue dans le cadre des mathématiques. Enfin, les contextes des situations de proportionnalité à explorer au cours du cycle peuvent être illustrés ou réinvestis dans d'autres disciplines : problèmes d'échelle, de vitesse, de pourcentage (histoire et géographie, éducation physique et sportive, sciences et technologie), problèmes d'agrandissement et de réduction (arts plastiques, sciences).
Les activités de repérage ou de déplacement sur un plan ou sur une carte prennent sens à travers des activités physiques (course d'orientation), mais aussi dans le cadre des enseignements de géographie (lecture de cartes) ou de technologie (réalisation d'un objet simple ; préparation d'un déplacement à l'aide de systèmes d'information géographiques). Les activités de reconnaissance et de construction de figures et d'objets géométriques peuvent s'appuyer sur des réalisations artistiques (peinture, sculpture, architecture, photographie, etc.).

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Ressources de WIMS en relation avec les programmes

Mathématiques Cycle 3

Préambule

Compétences travaillées et domaine du socle

Compétences travaillées

Domaines du socle

Nombres et calculs

Présentation

Sommaire

Les nombres entiers

CM1

CM2

6e

Fractions

CM1

CM2

6e

Nombres décimaux

CM1

CM2

6e

Introduction

CM1

CM2

6e

Calcul mental

CM1

CM2

6e

Calcul en ligne

CM1

CM2

6e

Calcul posé

CM1

CM2

6e

Calcul instrumenté

CM1

CM2

6e

Introduction

CM1

CM2

6e

Organisation et gestion de données

CM1

CM2

6e

Problèmes relevant de la proportionnalité

CM1

CM2

6e

Grandeurs et mesures

Présentation

Sommaire

Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres décimaux : longueur (périmètre), aire, volume, angle ;Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques de ces grandeurs

CM1

CM2

6e

Les longueurs et les périmètres

CM1

CM2

6e

Les aires

CM1

CM2

6e

Les contenances et les volumes

CM1

CM2

6e

Les angles

CM1

CM2

6e

Introduction

CM1

CM2

6e

6^e

6^e

6^e

6^e

6^e

6^e

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6^e

6^e

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Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres décimaux : longueur (périmètre), aire, volume, angle ;
Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques de ces grandeurs

6^e

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